单位球上Bekolle-Bonami加权Bergman空间的原子分解
Atomic Decomposition of Bekolle-Bonami Weighted Bergman Spaces in the Unit Ball

1. 引言

由于多复变函数与单复变函数的本质不同，多复变函数的Bergman空间理论从上世纪70年代以来一直都是函数论中的热点专题。1970年以前随着人们对于调和分析的研究热潮以及复分析自身发展的要求，国内外学者主要集中于研究Hardy空间及BMOA空间。随后由于表示论、算子理论的发展，标准的加权Bergman空间得到了广泛的关注，所涉及的诸如零点集、不变子空间、Toeplitz算子、Carleson测度、原子分解、插值等问题长期以来是国内外学者重点关注的问题 [2] [3] 。同时，Muckenhoupt权和加权不等式作为Fourier分析中的重要问题，自上世纪70年代引入以来不断发展。1978年，Bekolle和Bonami从实变量调和分析理论中，在复变量条件下引进了所谓的类似Muckenhoupt权的“Bekolle-Bonami条件”的权函数，他们证明了在加权Bergman空间 A 2 ( u ) 上的Bergman投影的有界性等价于权函数u满足Bekolle-Bonami条件 [4] [5] 。1985年Luecking研究了Bekolle-Bonami型加权Bergman空间的原子分解定理，并给出了该加权Bergman空间的对偶空间 [1] 。2010年Constantin证明了单位圆盘上Bekolle-Bonami型加权Bergman空间上的Carleson嵌入定理 [6] 。

近年来Hytonen等人利用现代调和分析技巧——二元分析及稀疏算子控制，取得了一系列丰富的结果。2013年Chacon研究了单位圆盘上的Bekolle-Bonami型加权Bergman空间上的原子分解定理和Toeplitz算子 [7] 。2013年Pott和Reguera利用二元分析和稀疏算子研究了上半平面上的Bekolle-Bonami型加权Bergman空间上的Bergman投影的范数 [8] 。之后2017年，Rham、Tchoundja、Wick研究了单位球上的Berezin变换、Bergman投影等积分算子的算子范数 [9] 。本文在复n维空间的单位球上利用加权Bergman空间 A 2 ( u ) 的再生核改进Luecking的原子分解定理。

2. 主要引理

本文用C表示复数域。对于正整数n，用 C n 表示n维复Euclidean空间，即

C n = { z = ( z 1 , ⋯ , z n ) : z j ∈ C ; j = 1 , 2 , ⋯ , n } .

记 C n 中的两个点 z = ( z 1 , ⋯ , z n ) 和 w = ( w 1 , ⋯ , w n ) 距离为

| z − w | = ∑ j = 1 n | z j − w j | 2 .

用 B n 来表示 C n 中的开单位球，即

B n = { z ∈ C n : | z | < 1 } .

如果记 z j = x j + i y j ，其中 x j ， y j 分别为复数 z j 的实部和虚部，我们用dV来表示 B n 上的Lebesgue测度，即

d V = d x 1 d y 1 ⋯ d x n d y n .

记dv为 B n 上单位化的Lebesgue测度，即对于 C n 中的可测集E，有

∫ E d v = ∫ E d V ∫ B n d V .

本文考虑的权函数 u ( z ) 是 B n 上的非负可测函数，并且 ∫ B n u d v < ∞ 。当 p ≥ 1 时，单位球 B n 上的加权p次可积函数空间 L p ( u ) 定义如下：

{ f 可 测 : ‖ f ‖ L p ( u ) : = ( ∫ B n | f ( z ) | p u ( z ) d v ( z ) ) 1 / p < ∞ } .

易知 L p ( u ) 按范数 ‖ ⋅ ‖ L p ( u ) 构成一个Banach空间。当权函数 u ≡ 1 时， L p ( 1 ) 为单位球上经典的p次可积函数空间 L p ( B n ) 。本文用 H ( B n ) 表示 B n 上全体全纯函数所构成的函数空间。定义单位球上的加权Bergman空间如下：

A 2 ( u ) = L 2 ( u ) ∩ H ( B n ) .

当权函数 u ≡ 1 时， A 2 ( 1 ) 为单位球上的经典不加权Bergman空间，即为 A 2 ( B n ) 。

如果 f , g ∈ A 2 ( B n ) ，记

〈 f , g 〉 A 2 = ∫ B n f ( z ) g ( z ) ¯ d v ( z ) .

易知范数 ‖ f ‖ A 2 2 = 〈 f , f 〉 A 2 ，且 A 2 ( B n ) 是以 〈 ⋅ , ⋅ 〉 A 2 为内积构成的一个Hilbert空间。

对于非零点 a ∈ B n ，记 C n 中由a生成的子空间为 [ a ] = { λ a : λ ∈ C n } 。设 P a 是从 C n 到 [ a ] 上的正交投影，即

P a ( z ) = 〈 z , a 〉 〈 a , a 〉 a .

对于任意的 z ∈ B n ，约定 P 0 ( z ) = 0 。令 Q a ( z ) = z − P a ( z ) ，它是从 C n 到 [ a ] 的正交补上的正交投影。设 s a = ( 1 − | a | 2 ) 1 / 2 ，记单位球 B n 上的对合自同构为

Φ a ( z ) = a − P a ( z ) − s a Q a ( z ) 1 − 〈 z , a 〉 .

映射 Φ a 是 B n 到自身的一个双全纯映射，满足以下4条性质：

1) Φ a ( 0 ) = a , Φ a ( a ) = 0 ;

2) Φ a ( Φ a ( z ) ) = z ;

3) 1 − | Φ a ( z ) | 2 = ( 1 − | a | 2 ) ( 1 − | z | 2 ) | 1 − 〈 z , a 〉 | 2 ;

4) 1 − 〈 Φ a ( z ) , Φ a ( w ) 〉 = ( 1 − 〈 a , a 〉 ) ( 1 − 〈 z , w 〉 ) ( 1 − 〈 z , a 〉 ) ( 1 − 〈 a , w 〉 ) .

伪双曲度量函数 ρ : B n × B n → [ 0 , 1 ) 定义为

ρ ( z , w ) = | Φ z ( w ) | ,

记以a为心 r > 0 为半径的伪双曲球为

B ρ ( a , r ) = { z ∈ B n : ρ ( z , a ) < r } ,

单位球 B n 上的Bergman度量函数 β : B n × B n → [ 0 , ∞ ) 可以用对合自同构定义如下

β ( z , w ) = 1 2 log 1 + | Φ z ( w ) | 1 − | Φ z ( w ) | .

记以z为心 r > 0 为半径的Bergman度量球为

B β ( z , r ) = { w ∈ B n : β ( z , w ) < r } .

对于非零的 z ∈ B n ，定义Carleson帐篷 T z 为

{ w ∈ B n : | 1 − 〈 z , w 〉 | z | | < 1 − | z | } ,

其中 〈 z , w 〉 = ∑ j = 1 n z j w j ¯ 。我们规定在0处的Carleson帐篷为 T 0 = B n 。

定义2.1.对于非负函数 u ∈ L 1 ( B n ) ，如果存在 C > 0 ，使得

[ u ] B 2 : = s u p z ∈ B n ∫ T z u d v ∫ T z d v ⋅ ∫ T z u − 1 d v ∫ T z d v < C ,

则称u满足Bekolle-Bonami条件 B 2 ，此时可以简记为 u ∈ B 2 。

定义2.2. 对于非负函数 u ∈ L 1 ( B n ) ，如果存在 C > 0 ，使得

[ u ] C 2 : = sup a ∈ B n , r > 0 ∫ B β ( a , r ) u d v ∫ B β ( a , r ) d v ⋅ ∫ B β ( a , r ) u − 1 d v ∫ B β ( a , r ) d v < C ,

则称u满足 C 2 条件，此时可以简记为 u ∈ C 2 。

Luecking在 [1] 中第322页证明了 B 2 权一定为 C 2 权。

以下结论Luecking在文献 [1] 中的定理2。1给出证明，这是我们证明本篇文章的主要工具。

定理2.3. 设 u ∈ L 1 ( B n ) 为 B 2 权函数，则加权Bergman空间 A 2 ( u ) 的对偶空间等距同构于加权Bergman空间 A 2 ( u − 1 ) 。相应的配对关系由

〈 f , g 〉 A 2 = ∫ B n f ( z ) g ( z ) ¯ d v (z)

给出，其中 f ∈ A 2 ( u ) ， g ∈ A 2 ( u − 1 ) 。

设 E ⊂ B n 为可测集，u是权函数，本文为了简洁，记 u ( E ) = ∫ E u d v ，另外记 v o l ( E ) = ∫ E d v 。本文中用C表示绝对常数，每次表示的具体值可以不一样。下面的结论在本文中会反复用到，证明请参考文献 [2] 中的推论2.21。

引理2.4. 设 s , t , r > 0 为三个常数，则存在常数 C > 0 ，当 β ( z , w ) < r 时，有

C − 1 ≤ v o l ( B β ( z , t ) ) v o l ( B β ( w , s ) ) ≤ C .

引理2.5. 设u满足 C 2 条件， r > 0 ， t , s ∈ ( 0 , 1 ) 。如果 z , w ∈ B n ，满足 β ( z , w ) < r ，则存在两个与z，w无关的常数 c , C > 0 ，使得

c u ( B β ( z , t ) ) ≤ u ( B β ( w , s ) ) ≤ C u ( B β ( z , t ) ) .

证明。如果 B β ( z , t ) ⊂ B β ( w , s ) 时，有。因为，所以

, (2.1)

根据包含关系，有。再根据Holder不等式

得

. (2.2)

结合不等式(2.1)，得

.

根据引理2.4，可得

.

当时，同样可得所需结论。下面假设二者互相包含关系均不成立。根据条件，，再根据Bergman度量函数的三角不等式易知。由上面的证明，可得

.

同理可得

.

所以

.

以下结论由Luecking给出证明，参考文献 [1] 中引理3.1。

引理2.6. 如果，，则存在与无关的常数，对于，使得

.

对于固定的，定义上的泛函为，其中，称这个泛函为点赋值泛函。根据上述引理可知加权Bergman空间上的点赋值泛函的有界性。

推论2.7. 对于任意的，，点赋值泛函是上的有界线性泛函。

证明：根据引理2.6，有

.

记H是一个Hilbert空间，用表示它的内积。如果集合， 记为A的垂直空间，即

.

我们需要著名的Riesz表示定理(详见文献 [10] )，如下：

Riesz表示定理。设H是Hilbert空间，是其对偶空间，则对于任意，存在唯一一个，使得

, ,

并且

由推论2.7，对于任意，点赋值泛函为内积空间上的有界线性泛函，再根据Riesz表示定理，存在一个函数，使得对于任意的有

. (2.3)

我们称函数是中的再生核。

推论2.8. 设u满足条件，集合在中稠密。

证明：我们只需证。对于任意的，由垂直空间定义我们得到对于任意，，由再生核的定义(2.3)知，所以。

引理2.9. (文献 [2] 定理2.23)。存在一个正整数N，使得对任意，都存在中的一个序列，满足以下三条性质：

1);

2) 对于任意，；

3) 对于每个点在集族中至多存在N个包含z。

满足上述引理条件的序列被称为的一个r-格。

引理2.10. (文献 [1] 定理3.12)。设u是满足条件的权函数，是中的一个序列，满足
，那么存在一个常数，使得对于任意的，

成立。

引理2.11. (文献 [1] 定理3.14)。设u是一个权函数，常数，，则存在，对于中满足以下性质的序列：

,

存在一个常数C，使得对于所有，

成立。

3. 主要结论

下面证明本文的主要定理。

定理3.1. 设，则存在一个r-格，对于每个，存在，使得对于任意，

成立。

证明：首先根据引理2.11我们可以找到一个r-格和常数，使得

. (3.1)

定义一个从到的算子R如下，对于任意的：

.

下面证明R是线性的。对于任意，

对于任意，存在常数，使得

.

那么由引理2.10我们得到

.

则R为从到的有界线性算子。

下面证明R有闭值域。设，且收敛于g。根据柯西收敛准则，对于任意，存在，当时，有。根据不等式(3.1)，可得

.

因此是中的柯西列，所以它在中收敛，即存在，使得函数列依的范数收敛到。又因为

,

所以不等式两边对求极限得，因此R有闭值域。

下面证明R为单射。如果存在，使得。再根据不等式(3.1)，有

,

所以，即R为单射。

因此R为从到的有闭值域的有界单射线性算子。

下面证明R的对偶算子是从到的满射。假设对偶算子不是满射，则，即，(否则就有)。即存在非零函数。则对于任意，有

由的任意性知。因为R是单射，所以，与g为非零函数矛盾。因此是满射。

设，对于每个，我们有

(3.2)

第四个等号成立是交换了积分号与求和号的顺序，我们将在最后给出这个交换是成立的。

因为f是任意的，所以

.

因为是从到的满射，对于任意的，都存在，使得，所以

.

为了完成证明，下面证明不等式(3.2)中的积分与求和可交换。

因为，所以收敛，任给一个，存在，使得当时，都有

成立。为了书写方便，我们定义

(3.3)

因此

因此序列

是中的柯西序列，并且收敛到

.

因为

和

,

再根据内积的连续性有

,

所以

.

参考文献