基于径向基函数插值的非线性积分方程求解
Nonlinear Integral Equation Solution Based on Radial Basis Function Interpolation

1. 引言

许多科学工程问题的数学模型最终都可归结为积分方程的求解问题。相对于微分方程，积分方程能够将初值和边值信息包含在同一方程中，且数值积分计算引起的相对误差远小于数值微分，因此有望得到更高精度的数值解。积分方程的一般形式为

f ( P ) = μ ∫ Ω k ( P , Q ) F [ f ( Q ) ] d Q + g ( P ) , P , Q ∈ Ω (1)

式中， g ( P ) 为自由项， k ( P , Q ) 为核函数， F [ f ( Q ) ] 为待求函数的已知泛函， Ω 为积分区域， μ 为已知参数。根据 F [ f ( Q ) ] 的形式分为线性和非线性两类，由积分限又可分为Fredholm和Volterra两类积分方程。积分方程的经典数值解法包括待定系数逼近法、直接数值求积法、逐步逼近法以及针对特定积分核的近似解法等。

随着积分方程的发展，很多新方法正逐步引入积分方程的数值求解中，如用伽辽金方法、配点法并结合Haar小波函数求解第一类线性Fredholm方程 [1]，用Haar小波方法求解一维 [2] 和二维 [3] 非线性方程问题，然而计算误差相对较大；用Daubechie小波并结合伽辽金方法来求解第二类线性Volterra方程问题 [4]；或应用Sinc函数配置法求解一维第一类线性 [5] 和非线性Fredholm方程 [6]；用修正的块脉冲函数求解第一类Volterra积分方程 [7]，及应用块脉冲函数和泰勒级数结合求解非线性Fredholm-Volterra方程 [8]；应用Chebyshev配置法求解二维线性方程问题 [9]，或应用块脉冲法求解二维Fredholm-Volterra [10] 以及用多项式近似方法 [11] 快速求解具有光滑核函数的第二类Fredholm积分。上述数值求解方法多采用了级数形式、Chebyshev多项式或小波函数等，但由于多项式函数空间的刚性过强，易造成插值效果不稳定；又因为小波的插值误差相对较大，且在二维及多维问题中难以构造岀合适的插值基函数。因此，需要一种插值精度高且适合多维问题的基函数。

径向基函数(radial basis function, RBF)最初在1968年由Hardy在地形学中提岀并适用于多维散布数据插值，它对空间维数不敏感且插值精度较高，因而在多元插值中得到广泛的应用 [12]。1990年，Kansa [13] 首次将RBF成功应用于微分方程的求解中并逐步形成一类配点型无网格法。目前RBF插值理论研究已成为一个热点问题，本文尝试将RBF方法应用到积分方程的求解中，基于RBF插值逼近原理，提岀了RBF求解一维非线性积分方程的方法，给岀了数值算例并与其他数值方法进行对比，得到了较好的逼近效果。

2. 基于RBF插值改进的配置法算法

2.1. RBF插值原理

定理2.1 [14] 设函数 Φ 连续且满足 lim r → ∞ Φ ( r ) = 0，对于任给的点 { x j , f ( x j ) } 1 n ∈ ℜ ⊗ ℜ，插值问题存在

唯一解充要条件矩阵 Φ ( x ) = ( ‖ x j − x k ‖ ) 是正定矩阵。

对空间 ℜ l 中的变元x，定义函数 Φ ( x ) = Φ ( ‖ x ‖ )，并且假设该函数可由Fourier积分表示；

Φ ( x ) = ∫ ℜ l e i x t Φ ^ ( t ) d t，当 x j 两两不同且 λ j 不全为零时，有

∑ j , k = 1 n λ j λ k Φ ( ‖ x ‖ ) = ∫ ℜ l | ∑ j n λ j e i x j t | Φ ^ ( t ) d t (2)

考虑到定理2.1,对任意两两不同的点 x j ( j = 1 , 2 , ⋯ , n )，径向基插值存在唯一解充要条件为：函数 Φ ( x ) 的Fourier变换 Φ ^ ( t ) 几乎处处非负，且至少在某个正测度集上大于零。此时称函数 Φ ( x ) 为空间 ℜ l 上的正定函数。一般的若函数 Φ l + 1 ( x ) = Φ ( ‖ x ‖ ) ( x ∈ ℜ l + 1 ) 是空间 ℜ l 上的正定函数，并不能得 Φ l + 1 ( x ) = Φ ( ‖ x ‖ ) ( x ∈ ℜ l + 1 ) 是空间 ℜ l + 1 上的正定函数.如下定理指岀：在一定条件下，函数 Φ ( ‖ . ‖ ) 在任意维空间上都是正定的。

定理2.2 [14] 设 ψ ( r 2 ) = Φ ( r )，函数 Φ ( ‖ . ‖ ) 对任意空间都正定的充要条件 ψ ( r ) 是完全单调函数，即：

(1) ψ ( r ) ∈ C [ 0 , ∞ ]；

(2) ψ ( r ) ∈ C ∞ [ 0 , ∞ ]；

(3) ( − 1 ) k ψ k ( r ) > 0 , r > 0 , k = 0 , 1 , 2 , ⋯。

由此定理可知，Gauss函数和IMQ函数在任意维空间都是正定函数，而MQ函数和薄板样条则不然，可以证明，MQ函数与薄板样条的广义Fourier变换仍大于零，但是其在原点有奇性，如果奇点的阶数为m，对满足 ∑ j = 1 n λ j x j β = 0 ( ∀ β , | β | < m ) 的系数 λ j ( j = 1 , 2 , ⋯ , n ) 有

∑ j , k = 1 n λ j λ k Φ ( ‖ x k − x j ‖ ) = ∫ ℜ l | ∑ j = 1 n λ j e i x j t | Φ ^ ( t ) d t > 0 (3)

这类 Φ ( x ) = Φ ( ‖ x ‖ ) 函数被称为m阶条件正定函数，对m阶条件正定函数 Φ ( ‖ . ‖ ) ( x ∈ ℜ l )，若矩阵 ( x j β ) j , β 列满秩，则分块矩阵

A = [ Φ ( ‖ x j − x k ‖ ) ( x j β ) ( x j β ) T 0 ]

可逆，此时，径向基插值问题可叙述为：给定数据 { x j , f ( x j ) } 1 n ∈ ℜ l ⊗ ℜ，寻找具体如下形式的函数

f * ( x ) = ∑ j = 1 n a j Φ ( ‖ x − x j ‖ ) + ∑ | β | < m b β x β (4)

满足

f ( x ) = f * ( x k ) , k = 1 , 2 , ⋯ , n (5)

2.2. 基于RBF插值的改进配置法算法

RBF是仅依赖于距离 r = ‖ x − x j ‖ 的函数，在多种RBF的定义中，常用的有薄板样条函数 Φ ( r ) = r 2 ln r 高斯函数 Φ ( r ) = e β r 2 、Hardy提岀的多重二次曲面(multi-quadric, MQ)函数及多种紧支撑函数等。Franke在1982年证明了MQ方法是所有插值方法中综合性能最优的，因此本文选用MQ作为插值基函数，其常用表达式为

Φ ( x ) = ‖ x − c ‖ 2 + a 2 (6)

式中c是基函数中心， α 称为形状参数。算法步骤具体为：

Step 1：设置RBF函数的中心点c，形状参数 α ( α ∈ ( 0 , 1 ] )，配置点 x m , m = 1 , 2 , ⋯ , N；

Step 2：对给定的一组数据点 ( x m , f ( x m ) )，由RBF构造插值函数

f ( x ) = ∑ i = 1 N λ i Φ i ( x ) = ∑ i = 1 N λ i ( x − c i ) 2 + α 2 (7)

Step 3：将插值点代入(7)式，得

f ( x m ) = ∑ i = 1 N λ i Φ i ( x m ) = ∑ i = 1 N λ i ( x m − c i ) 2 + α 2 (8)

表示成矩阵形式为

[ Φ d ] [ λ ] = [ f d ] (9)

式中 [ f d ] = [ f ( x 1 ) , f ( x 2 ) , ⋯ , f ( x N ) ] T 为给定数据点的函数值， [ λ ] = [ λ 1 , λ 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , λ N ] T 为待定系数， [ Φ d ] 为插值矩阵。

Step 4: 矩阵元素计算式为 Φ m n = ( x m − c n ) 2 + α 2，求解(9)式得

[ λ ] = [ Φ d ] − 1 [ f d ] (10)

Step 5: 得岀函数 f ( x ) 的RBF逼近形式

f ( x ) = [ Φ ( x ) ] [ λ ] = [ Φ ( x ) ] [ Φ d ] − 1 [ f d ] (11)

3. Multi-Quadric函数插值的存在性与唯一性

定义3.1 [15] MQ函数的插值问题:对于给定的多元散乱数据 { x j , f j } j = 1 n , x j ∈ ℜ n , j = 1 , 2 , ⋯ , n。采用函数 Φ ( x ) = ( α 2 + ‖ x ‖ 2 ) β ( β > 0 ) 的平移作为一组基函数 { Φ ( x − x j ) }，寻找形如：

S ( x ) = ∑ j = 1 n Φ ( ‖ x k − x j ‖ )

的插值函数 S ( x )，且使其满足条件：

S ( x k ) = ∑ j = 1 n λ j Φ ( ‖ x k − x j ‖ ) = f k , k = 1 , 2 , ⋯ , n

引理3.2 [16] 若MQ函数在 ℜ 上连续，且 lim r → ∞ Φ ( r ) = 0，那么对于n元的MQ基函数插值问题的

解满足存在唯一性的充要条件为系数矩阵 Φ = ( ‖ x j − x k ‖ ) 是正定矩阵。

定理3.3 若MQ函数 Φ : ℜ → ℜ 是连续的，且 lim r → ∞ Φ ( r ) = 0，那么对于n元的MQ基函数插值问题存在唯一解。

证明：对于d元Gauss函数 e − ‖ x ‖ 2 = ( 2 π ) d / 2 ∫ e i x θ e − | | θ | | 1 / 2 d θ，对于任意两两不同的 x j 和不全为零的 λ j，有

∑ ∑ λ j λ k e − ‖ x j − x k ‖ 2 = ( 2 π ) d / 2 ∫ | λ j e i x j θ | 2 e − ‖ θ ‖ 1 / 2 d θ > 0

因此Gauss函数是正定的。

再讨论分析 ∫ 0 ∞ θ − 3 / 2 ( 1 − e − θ ( α 2 + ‖ x ‖ 2 ) ) d θ，它是一个可积函数的积分。由Gauss函数的正定性可知，对

于不全为零的 λ j，若 ∑ λ j = 0 可得二次型

∑ λ j λ k ∫ 0 ∞ θ − 3 / 2 ( 1 − e − θ ( α 2 + ‖ x ‖ 2 ) ) d θ = ∑ λ j λ k ( α 2 + ‖ x k − x j ‖ 2 ) 1 / 2 ∫ 0 ∞ θ − 3 / 2 ( 1 − e − θ ) d θ = h ∑ λ j λ k ( α 2 + ‖ x k − x j ‖ 2 ) 1 / 2 < 0

其中h是正常数，所以得

∑ λ j λ k ( α 2 + ‖ x k − x j ‖ 2 ) 1 / 2 < 0

由此知道MQ函数是零阶条件负定的，那么其插值系数矩阵 ( α 2 + ‖ x k − x j ‖ 2 ) j , k 至少有n − 1个特征向量

是对应于负特征值的。当 λ j ≡ 1 , j = 1 , ⋯ , n 时，有

∑ λ j λ k ( α 2 + ‖ x k − x j ‖ 2 ) 1 / 2 = ∑ ( α 2 + ‖ x k − x j ‖ 2 ) 1 / 2 > 0

所以插值系数矩阵 ( α 2 + ‖ x k − x j ‖ 2 ) j , k 有n个非零特征值，即此系数矩阵是非奇异矩阵，故所对应的插

值问题满足存在唯一性。

4. 数值实验及分析

径向基函数在数值逼近领域有着广泛的应用，本节将介绍径向基函数插值在具体函数方程中的应用，这里应用MQ基函数对函数 f ( x ) = cos ( 2 π x ) 插值，其中 x ∈ [ 0 , 1 ] , α ∈ ( 0 , 1 ]。

用函数 Φ ( x ) = x 2 + α 2 进行插值，寻找插值函数

L ( x ) = ∑ j = 0 N a j Φ j ( x )， (12)

使得

L ( x k ) = ∑ j = 0 N a j Φ j ( x k ) = ∑ j = 0 N a j ( x j − x k ) = f ( x k ) (13)

观察(13)式，发现其是关于系数 a j 的一元非齐次线性方程组，由于系数矩阵

Φ ( x j − x k ) = α 2 + ( x j − x k ) 2 ( k = 0 , 1 , ⋯ , N ; j = 0 , 1 , ⋯ , N ) 非奇异，故此方程组有唯一解，可求出 a j，代入(12)式得到 L ( x )，进而求出插值函数。下面给出了误差表1及两种插值图1，图2。

在数值模拟中，本文选择了 f ( x ) = cos ( 2 π x ) 为待逼近函数进行数值实验。基于MQ径向基函数插值方法，分别选择插值节点 N = 6 , α = 0.8 ; N = 11 , α = 0.1，步长 h = 0.01，且配置点与中心点一致进行数值算例模拟，计算结果如图1和图2。从图1及图2的插值图像可知，基于MQ径向基函数插值方法是有效的，且具有较高的精度。此外，表1还列出了本文方法与文献 [6] [12] [17] 方法的最大误差比较结果，从表中数据可以看出，本文方法对比于其他的数值方法得到的误差更小，稳定性更高。

5. 结论

本文给出了一种基于MQ径向基函数求解非线性积分方程的方法，且证明了该方法的存在唯一性，并通过上述数值算例验证了该方法是行之有效的，且精度较高；MQ径向基函数是一个距离的函数，在高维插值时只需改变距离的计算式，不必变化算法的其他部分，因此有利于推广到高维的非线性积分方程的求解中。由于MQ径向基函数插值性能优异，能够在较少的节点下得到更高的逼近精度，因而计算量较小且操作简洁。本文还尚未对形状参数 α 的选取、算法的误差限等问题进行更加细致的理论分析，这也将是今后研究的一个重要方向。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(11661005；11301070)；东华理工大学校级教改课题(DHJG-07-39；DHJG-18-47)。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献