PMPure Mathematics2160-7583Scientific Research Publishing10.12677/PM.2019.92023PM-29331PM20190200000_64202375.pdf数学与物理 完全二部多重图的K 2,4-因子分解 K 2,4-Factorization of Complete Bipartite Multigraphs 朱莉12null南通职业大学，江苏 南通290120190902182187© Copyright 2014 by authors and Scientific Research Publishing Inc. 2014This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

如果完全二部多重图λK m,n的边集可以划分为 λK m,n的K p,q-因子，则称 λK m,n存在 K p,q-因子分解。当p = 1、q = 2和p = 2、q = 3时， λK m,n的 K p,q-因子分解的存在性问题已被完全解决。当p = 1、q = 3和p = 1、q = 4时，K m,n的 K p,q-因子分解的存在性问题已被基本解决。文章研究当p = 2和q = 4时完全二部多重图 λK m,n的K 2,4-因子分解的存在性。证明完全二部多重图 λK m,n存在K 2,4-因子分解的充分必要条件是：1) m≡n≡0 (mod 2)，2) m ≤ 2n，3) n ≤ 2m，4)， m+n≡0 (mod 6)，5) 3 λm,n/[4（m+n）]是整数。 Let λK m,n be a complete bipartite multigraph with two partite sets having m and n vertices, re-spectively. A K p,q -factorization λK m,n is a set of edge-disjoint K p,q -factors of λK m,n . When p = 1, q = 2 and p = 2, q = 3, the K p,q -factorization of λK m,n has been completely solved. When p = 1, q = 3 and p = 1, q = 4, the K p,q -factorization of K m,n has been totally solved. In this article, the K 2,4-factorization of λK m,n is researched. We will give a necessary and sufficient condition for K 2,4-factorization of λK m,n, that is: 1) m≡n≡0 (mod 2), 2) m ≤ 2n, 3) n ≤ 2m, 4) m+n≡0 (mod 6), 5) 3 λ m,n/[4(m+n)] .

二部多重图，因子，因子分解, Complete Bipartite Multigraphs Factor Factorization完全二部多重图的K<sub>2,4</sub>-因子分解<sup> </sup>

朱莉

南通职业大学，江苏 南通

收稿日期：2019年2月26日；录用日期：2019年3月13日；发布日期：2019年3月20日

摘 要

如果完全二部多重图 λ K m , n 的边集可以划分为 λ K m , n 的 K p , q -因子，则称 λ K m , n 存在 K p , q -因子分解。当p = 1、q = 2和p = 2、q = 3时， λ K m , n 的 K p , q -因子分解的存在性问题已被完全解决。当p = 1、q = 3和p = 1、q = 4时，Km,n的 K p , q -因子分解的存在性问题已被基本解决。文章研究当p = 2和q = 4时完全二部多重图 λ K m , n 的K2,4-因子分解的存在性。证明完全二部多重图 λ K m , n 存在K2,4-因子分解的充分必要条件是：1) m ≡ n ≡ 0 (mod 2)，2) m £ 2n，3) n £ 2m，4) m + n ≡ 0 (mod 6)，5) 3 λ m n / [ 4 ( m + n ) ] 是整数。

关键词 :二部多重图，因子，因子分解

Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

Km,n表示完全二部图，其两个部分点集Ｘ和Ｙ分别具有m和n个点。lKm,n表示完全二部多重图，它是l个两两不交的同构于Km,n的图的并。如果lKm,n的一个子图F包含了lKm,n的所有点，则称Ｆ为lKm,n的一个支撑子图。若lKm,n的支撑子图F的每个分支均同构于图Kp,q，则称F为lKm,n的一个Kp,q-因子。如果lKm,n的边集可以划分为lKm,n的Kp,q-因子，则称lKm,n存在Kp,q-因子分解。在综述文章 [1] 中，Ushio称lKm,n的Kp,q-因子分解为可分解的(m, n, k, l)二部Kp,q-设计。如果lKm,n存在Kp,q-因子分解，则称lKm,n是可Kp,q-因子分解的。本文用到的图论方面的名词术语，均参照图论著作 [2] 。

lKm,n的Kp,q-因子分解有许多应用，特别是Yamamoto和Ushio等 [3] 用其建立了计算机数据存储的HUBMFS2方案。当p = 1和q = 2时，Ushio [4] 、Wang和Du [5] 完全解决了lKm,n的K1,2-因子分解的存在性问题。Martin在论文 [6] [7] 中分别解决了当p = 1、q = 3与p = 1、q = 4时Km,n的Kp,q-因子分解的存在性。当p = 2和q = 3时，Wang和Du [8] 完全解决了l = 1时Km,n的K2,3-因子分解的存在性。我们在论文 [9] 中完全解决了l > 1时lKm,n的K2,3-因子分解的存在性。本文研究当p = 2和q = 4时，完全二部多重图lKm,n的K2,4-因子分解的存在性。即我们将证明lKm,n存在K2,4-因子分解的充分必要条件。

定理1.1：完全二部多重图lKm,n存在K2,4-因子分解的充分必要条件是：1) m ≡ n ≡ 0 (mod 2)，2) m £ 2n，3) n £ 2m，4) m + n ≡ 0 (mod 6)，5) 3 λ m n / [ 4 ( m + n ) ] 是整数。

2. 定理1.1的证明

定理1.1的必要性证明通过简单计算即可得到，充分性部分的证明由以下几个引理构成，第一个引理是显然的，其中 gcd ( x , y ) 表示x和y的最大公约数。

引理2.1：设u，v，x和y是正整数。如果 gcd ( u x , v y ) = 1 ，则 gcd ( u v , u x + v y ) = 1 。

引理2.2：设s是任意正整数。如果lKm,n存在K2,4-因子分解，则lsKm,n存在K2,4-因子分解。

证明：重复lKm,n的K2,4-因子分解s次即得lsKm,n的K2,4-因子分解。

引理2.3：设s是任意正整数。如果lKm,n存在K2,4-因子分解，则lKms,ns存在K2,4-因子分解。

证明：由于Ks,s是可1-因子分解的(参见 [2] )，可设 { F i : 1 ≤ i ≤ s } 是它的一个1-因子分解。对于每一个1 £ i £ s，用lKm,n代替Fi的每条边，即得到lKms,ns的一个支撑子图Gi，且 G i ( 1 ≤ i ≤ s ) 边集的并为lKms,ns。由于lKm,n是可K2,4-因子分解的，因而Gi也是可K2,4-因子分解的。所以lKms,ns存在K2,4-因子分解。

由引理2.3我们易得当m = 2n或n = 2m时，lKm,n存在K2,4-因子分解。因此下面我们只需考虑m < 2n且n < 2m时的情形。在这种情形下，我们令 a = ( 2 n − m ) / 6 ， b = ( 2 m − n ) / 6 ， t = ( m + n ) / 6 和 r = 3 λ m n / [ 4 ( m + n ) ] 。由定理1.1的条件(1)~(4)可知a，b，t，r是整数，且0 < a < m，0 < b < n。于是有2a + 4b = m，4a + 2b = n。进而可得 r = λ ( a + b ) + λ a b / [ 2 ( a + b ) ] 。设 z = λ a b / [ 2 ( a + b ) ] ，它也是整数。设 gcd ( 2 a , 4 b ) = d ，2a = dp，4b = dq，其中 gcd ( p , q ) = 1 。因此 z = λ d p q / [ 4 ( 2 p + q ) ] 。于是我们可得下列各式：

d = 4 ( 2 p + q ) z / ( λ p q )

m = 4 ( p + q ) ( 2 p + q ) z / ( λ p q )

n = 2 ( 4 p + q ) ( 2 p + q ) z / ( λ p q )

r = ( p + q ) ( 4 p + q ) z / ( λ p q )

a = 2 p ( 2 p + q ) z / ( λ p q )

b = q ( 2 p + q ) z / ( λ p q )

则有以下引理

引理2.4：1) 如果 gcd ( p , 4 ) = 1 ， gcd ( q , 16 ) = 1 ，设 gcd ( 2 p + q , l ) = γ ，则

d = 4 ( 2 p + q ) s / γ , m = 4 ( p + q ) ( 2 p + q ) s / γ , n = 2 ( 4 p + q ) ( 2 p + q ) s / γ ，

r = ( p + q ) ( 4 p + q ) s λ / γ , a = 2 p ( 2 p + q ) s / γ , b = q ( 2 p + q ) s / γ

其中s是正整数。

2) 如果， gcd ( q , 16 ) = 1 ，设 q = 2 q 1 ，设 gcd ( 2 ( p + q 1 ) , λ ) = γ ，则

d = 4 ( p + q 1 ) s / γ , m = 4 ( p + 2 q 1 ) ( p + q 1 ) s / γ , n = 4 ( 2 p + q 1 ) ( p + q 1 ) s / γ ，

r = ( p + 2 q 1 ) ( 2 p + q 1 ) s λ / γ , a = 2 p ( p + q 1 ) s / γ , b = 2 q 1 ( p + q 1 ) s / γ

其中s是正整数。

3) 如果 gcd ( p , 4 ) = 1 ， gcd ( q , 16 ) = 4 ，设 q = 4 q 2 ，设 gcd ( p + 2 q 2 , l ) = γ ，则

d = 2 ( p + 2 q 2 ) s / γ , m = 2 ( p + 4 q 2 ) ( p + 2 q 2 ) s / γ , n = 4 ( p + q 2 ) ( p + 2 q 2 ) s / γ ，

r = ( p + 4 q 2 ) ( p + q 2 ) s λ / γ , a = p ( p + 2 q 2 ) s / γ , b = 2 q 2 ( p + 2 q 2 ) s / γ

其中s是正整数。

4) 如果 gcd ( p , 4 ) = 1 ， gcd ( q , 16 ) = 8 ，设 q = 8 q 3 ，设 gcd ( p + 4 q 3 , λ ) = γ ，则

d = 2 ( p + 4 q 3 ) s / γ , m = 2 ( p + 8 q 3 ) ( p + 4 q 3 ) s / γ , n = 4 ( p + 2 q 3 ) ( p + 4 q 3 ) s / γ ，

r = ( p + 8 q 3 ) ( p + 2 q 3 ) s λ / γ , a = p ( p + 4 q 3 ) s / γ , b = 4 q 3 ( p + 4 q 3 ) s / γ

其中s是正整数。

5) 如果 gcd ( p , 4 ) = 1 ， gcd ( q , 16 ) = 16 ，设 q = 16 q 4 ，设 gcd ( p + 8 q 4 , λ ) = γ ，则

d = 2 ( p + 4 q 4 ) s / γ , m = 2 ( p + 16 q 4 ) ( p + 8 q 4 ) s / γ , n = 4 ( p + 4 q 4 ) ( p + 8 q 4 ) s / γ ，

r = ( p + 16 q 4 ) ( p + 4 q 4 ) s λ / γ , a = p ( p + 8 q 4 ) s / γ , b = 8 q 4 ( p + 8 q 4 ) s / γ

其中s是正整数。

6) 如果 gcd ( p , 4 ) = 2 ， gcd ( q , 16 ) = 1 ，设 p = 2 p 1 ，设 gcd ( 4 p 1 + q , λ ) = γ ，则

d = 4 ( 4 p 1 + q ) s / γ , m = 4 ( 2 p 1 + q ) ( 4 p 1 + q ) s / γ , n = 2 ( 8 p 1 + q ) ( 4 p 1 + q ) s / γ ，

r = ( 2 p 1 + q ) ( 8 p 1 + q ) s λ / γ , a = 4 p 1 ( 4 p 1 + q ) s / γ , b = q ( 4 p 1 + q ) s / γ

其中s是正整数。

7) 如果 gcd ( p , 4 ) = 4 ， gcd ( q , 16 ) = 1 ，设 p = 4 p 2 ，设 gcd ( 8 p 2 + q , λ ) = γ ，则

d = 4 ( 8 p 2 + q ) s / γ , m = 4 ( 4 p 2 + q ) ( 8 p 2 + q ) s / γ , n = 2 ( 16 p 2 + q ) ( 8 p 2 + q ) s / γ ，

r = ( 4 p 2 + q ) ( 16 p 2 + q ) s λ / γ , a = 8 p 2 ( 8 p 2 + q ) s / γ , b = q ( 8 p 2 + q ) s / γ

其中s是正整数。

证明：1) 由条件我们有 gcd ( p , 4 ) = gcd ( q , 16 ) = gcd ( p , q ) = 1 ，因此 gcd ( 4 p , q ) = 1 。此时 r = ( p + q ) ( 4 p + q ) z / ( p q ) 。根据引理2.1，我们有 gcd ( p q , p + q ) = gcd ( p q , 4 p + q ) = 1 。所以 z / ( p q ) 是正整数。令 z ′ = z / ( p q ) 。设 gcd ( 2 p ( 2 p + q ) , λ ) = γ 1 ， gcd ( q ( 2 p + q ) , λ ) = γ 2 。由 a = 2 p ( 2 p + q ) z ′ / λ ， b = q ( 2 p + q ) z ′ / λ 。我们知 z ′ γ 1 / λ 和 z ′ γ 2 / λ 是正整数。因为，所以 z ′ γ / λ 是正整数，这里 gcd ( 2 p + q , λ ) = γ 。令 s = z ′ γ / λ ，即得(1)中的等式。

(2)~(7)中各式的证明类似于(1)。

引理2.5：对于任意正整数γ，p和q，如果 m = 4 ( p + q ) ( 2 p + q ) / γ ， n = 2 ( 4 p + q ) ( 2 p + q ) / γ ，则当 ( 2 p + q ) / γ 是正整数时，γKm,n存在K2,4-因子分解。

证明：记 a = 2 p ( 2 p + q ) / γ ， b = q ( 2 p + q ) / γ ， r = ( p + q ) ( 4 p + q ) ， r １ = p + q 和 r 2 = 4 p + q 。并令Ｘ和Y是γKm,n两个部分点集

X = { x i , j | 1 ≤ i ≤ r 1 , 1 ≤ j ≤ 4 ( 2 p + q ) / γ } ，

Y = { y i , j | 1 ≤ i ≤ r 2 , 1 ≤ j ≤ 2 ( 2 p + q ) / γ } 。

我们将构作γKm,n的一个K2,4-因子分解。我们约定xi,j和yi,j的第一个下标分别在和 { 1 , 2 , ⋯ , r 2 } 中进行模r1和模r2的运算，它们的第二个下标分别在 { 1,2, ⋯ ,4 ( 2 p + q ) / γ } 和 { { 1,2, ⋯ ,2 ( 2 p + q ) / γ } 中进行模 4 ( 2 p + q ) / γ 和模的运算。

对于每一个正整数i，x，y，z，1 £ I £ p，0 £ x £ 1和0 £ y £ 3，令 f ( x ) = 2 ( 2 p + q ) x / γ ， g ( i , y ) = 4 ( i − 1 ) + y + 1 ， h ( i , y ) = 4 ( i − 1 ) + y 并构作如下边集

E i = { x i , f ( x ) + j y g ( i , y ) , h ( i , y ) + j : 1 ≤ j ≤ 2 ( 2 p + q ) / γ , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 3 } 。

对于每一个正整数i，x，y，z，1 £ i £ q和0 £ x，y，z £ 1，令 u ( x , y ) = ( 2 p + q ) ( 2 x + y ) / γ ， v ( i , y , z ) = 4 p + 2 ( i − 1 ) + ( 2 p + q ) y / γ + z 并构作如下边集

E p + i = { x p + i , u ( x , y ) + j y 4 p + i , v ( i , y , z ) + j : 1 ≤ j ≤ 2 ( 2 p + q ) / γ , 0 ≤ x , y , z ≤ 1 } 。

令 F = ∪ 1 ≤ i ≤ p + q E i ，则图F就是γKm,n的一个K2,4-因子。定义 X ∪ Y 到 X ∪ Y 上的双射 σ : σ ( x i , j ) = x i + 1 , j ， σ ( y i , j ) = y i + 1 , j 。对于每一个 i ∈ { 1,2, ⋯ , r 1 } 和每一个 j ∈ { 1,2, ⋯ , r 2 } ，令

F i , j = { s i ( x j ) s j ( y j ) | x ∈ X . y ∈ Y , x y ∈ F } 。

易证每一个图 F i , j ( 1 ≤ i ≤ r 1 , 1 ≤ i ≤ r 2 ) 都是γKm,n的K2,4-因子。于它们边集的并构成γKm,n，因此 { F i , j | 1 ≤ i ≤ r 1 , 1 ≤ i ≤ r 2 } 就是γKm,n的一个K2,4-因子分解。

引理得证。

以下引理的证明同引理2.5相类似，因此我们只写出其中X，Y，Ei和 E p + i 的表达式。

引理2.6：对于任意正整数γ，p和q，如果 m = 4 ( p + 2 q ) ( p + q ) / γ ， n = 4 ( 2 p + q ) ( p + q ) / γ ，则当 ( 2 p + q ) / γ 是正整数时，γKm,n存在K2,4-因子分解。

证明：记 a = 2 p ( p + q ) / γ ， b = 2 q ( p + q ) / γ ， r = ( p + 2 q ) ( 2 p + q ) ， r 1 = p + 2 q 和 r 2 = 2 p + q 。并令

X = { x i , j | 1 ≤ i ≤ r 1 ,1 ≤ j ≤ 4 ( p + q ) / γ } ，

Y = { y i , j | 1 ≤ i ≤ r 2 , 1 ≤ j ≤ 4 ( p + q ) / γ } 。

对于每一个正整数i，x，y，z，1 £ i £ p，0 £ x，y，z £ 1，令 f ( x ) = 2 ( p + q ) x / γ ， g ( i , y ) = 2 ( i − 1 ) + y + 1 ， h ( i , y , z ) = 4 ( i − 1 ) + y + 4 ( p + q ) z / γ 并构作如下边集

E i = { x i , f ( x ) + j y g ( i , y ) , h ( i , y , z ) + j : 1 ≤ j ≤ 2 ( p + q ) / γ , 0 ≤ x , y , z ≤ 1 } 。

对于每一个正整数i，x，y，z，1 £ i £ q，0 £ x，y，z £ 1，令 f ( x ) = 2 ( p + q ) x / γ ， g ( i , y ) = 2 ( i − 1 ) + y + 1 ， u ( i , y , z ) = 2 p + 2 ( p + q ) z / γ + 2 ( i − 1 ) + y + 1 并构作如下边集

E p + i = { x p + g ( i , y ) , f ( x ) + j y 2 p + i , u ( i , y , z ) + j : 1 ≤ j ≤ 2 ( p + q ) / γ , 0 ≤ x , y , z ≤ 1 } 。

引理2.7：对于任意正整数γ，p和q，如果 m = 2 ( p + 8 q ) ( p + 4 q ) / γ ， n = 4 ( p + 2 q ) ( p + 4 q ) / γ 。则当 ( p + 4 q ) / γ 是正整数时，γKm,n存在K2,4-因子分解。

证明：记 a = p ( p + 4 q ) / γ ， b = 4 q ( p + 4 q ) / γ ， r = ( p + 8 q ) ( p + 2 q ) ， r 1 = p + 8 q 和 r 2 = p + 2 q 。并令

X = { x i , j | 1 ≤ i ≤ r 1 ,1 ≤ j ≤ 2 ( p + 4 q ) / γ } ，

Y = { y i , j | 1 ≤ i ≤ r 2 ,1 ≤ j ≤ 4 ( p + 4 q ) / γ } 。

对于每一个正整数i，x，y，1 £ i £ p，0 £ x £ 1和0 £ y £ 3，令 f ( x ) = ( p + 4 q ) x / γ ， g ( i , y ) = i − 1 + ( p + 4 q ) y ，并构作如下边集

E i = { x i , f ( x ) + j y i , g ( i , y ) + j : 1 ≤ j ≤ ( p + 4 q ) / γ , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 3 } 。

对于每一个正整数i，x，y，z，w，1 £ i £ q，0 £ y，w £ 1和0 £ x，z £ 3，令 h ( i , x , y ) = p + 8 ( i − 1 ) + 2 x + y ， u ( i , x , w ) = p + 4 ( i − 1 ) + x + ( p + 4 q ) w / γ 并构作如下边集

E p + i = { x h ( i , x , y ) , ( p + 4 q ) z / γ + j y p + 2 ( i − 1 ) + y , u ( i , x , w ) + j : 1 ≤ j ≤ ( p + 4 q ) / γ , 0 ≤ y , w ≤ 1 和 0 ≤ x , z ≤ 3 } 。

引理2.8：对于任意正整数γ，p和q，如果 m = 2 ( p + 16 q ) ( p + 8 q ) / γ ， n = 4 ( p + 4 q ) ( p + 8 q ) / γ 。则当 ( p + 8 q ) / γ 是正整数时，γKm,n存在K2,4-因子分解。

证明：记 a = p ( p + 8 q ) / γ ， b = 8 q ( p + 8 q ) / γ ， r = ( p + 16 q ) ( p + 4 q ) ， 和 r 2 = p + 4 q 。并令

X = { x i , j | 1 ≤ i ≤ r 1 ,1 ≤ j ≤ 2 ( p + 8 q ) / γ } ，

Y = { y i , j | 1 ≤ i ≤ r 2 ,1 ≤ j ≤ 4 ( p + 8 q ) / γ } 。

对于每一个正整数i，x，y，满足1 £ i £ p，0 £ x £ 1和0 £ y £ 3，令 f ( x ) = ( p + 8 q ) x / γ ， g ( i , y ) = ( p + 8 q ) y / γ + i − 1 ，并构作如下边集

E i = { x i , f ( x ) + j y i , g ( i , y ) + 1 : 1 ≤ j ≤ ( p + 8 q ) / γ , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3 } 。

对于每一个正整数i，x，y，z，s，t，且1 £ i £ q，0 £ x £ 3，0 £ y，z，s，t £ 1，令 h ( i , x , y , z ) = p + 16 ( i − 1 ) + 4 x + 2 y + z + 1 ， u ( s ) = ( p + 8 q ) s / γ , v ( i , x ) = p + 4 ( i − 1 ) + x + 1 ， w ( i , x , y , t ) = p + 8 ( i − 1 ) + 2 x + y + 1 + ( p + 8 q ) y / γ + ( p + 8 q ) t / γ 并构作如下边集

E p + i = { x h ( i , x , y , z ) , u ( s ) + j y v ( i , x ) , w ( i , x , y , t ) + j : 1 ≤ j ≤ ( p + 8 q ) / γ , 0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y , z , s , t ≤ 1 } 。

定理1.1的证明：定理1.1必要性的证明显然。结合引理2.2和引理2.8，即可完成定理1.1充分性的证明。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(11571251)。

文章引用

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