司红颖
商丘师范学院数学与统计学院，河南 商丘
收稿日期：2019年4月14日；录用日期：2019年4月25日；发布日期：2019年5月6日
本文从例3.2计算积分
司红颖
商丘师范学院数学与统计学院，河南 商丘
收稿日期：2019年4月14日；录用日期：2019年4月25日；发布日期：2019年5月6日
本文从例3.2计算积分 ∫ c 1 ( z − z 0 ) n d z 出发，用参数方程法计算例3.2的积分值，并分别从积分曲线和被积函数两方面对例3.2进行推广。首先，把积分曲线进行推广，从以 z 0 为中心r为半径的圆推广到包含 z 0 的任一条闭曲线，推广后具有更广的适用范围。其次，把被积函数进行推广，由 1 z − z 0 分别推广到 f ( z ) z − z 0 及 f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 ，进一步讨论了例3.2与柯西积分公式和解析函数高阶导数公式之间的密切联系。
关键词 :积分曲线，柯西积分公式，高阶导数公式
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复变函数积分的计算在复变函数课程的教学中有着举足轻重的地位，它是研究解析函数的一个重要工具，是人们讨论的热点问题 [
定理1 [
∫ c f ( z ) d z = ∫ c u d x − v d y + i ∫ c v d x + u d y . (1)
此定理给出了复积分存在的条件，并给出了一个计算复积分的公式，该定理在文献 [
证 由 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) ， z = x + i y ，故
∫ c f ( z ) d z = ∫ c ( u + i v ) d ( x + i y ) = ∫ c ( u + i v ) ( d x + i d y ) = ∫ c u d x + i u d y + i v d x − v d y = ∫ c u d x − v d y + i ∫ c v d x + u d y
这就把复积分的计算转化为第二类曲线积分的计算问题，而等号右端的第二类曲线积分存在的条件是二元函数 u , v 在曲线C上连续，从而 f ( z ) 在曲线C上连续，于是得到 f ( z ) 沿曲线C可积的条件是 f ( z ) 在曲线C上连续，定理得证。
公式(1.1)说明，复变函数积分的计算问题可以化为其实部、虚部两个二元实函数曲线积分的计算问题，曲线积分的计算对工科的学生来说也是一个难点，更进一步把复变函数积分的计算转化为定积分来
求解。设有光滑曲线C: z = z ( t ) = x ( t ) + i y ( t ) ( α ≤ t ≤ β ) ，这就表示 z ′ ( t ) 在 [ α , β ] 上连续且有不为零的导数 z = z ′ ( t ) = x ′ ( t ) + i y ′ ( t ) 。
又设 f ( z ) 沿C连令 f [ z ( t ) ] = u [ x ( t ) , y ] ( t ) + i v [ x ( t ) , y ( t ) ] = u ( t ) + i v ( t ) 。
由公式(1.1)我们有
∫ c f ( z ) d z = ∫ c u d x − v d y + i ∫ c v d x + u d y = ∫ α β [ u ( t ) x ′ ( t ) − v ( t ) y ′ ( t ) ] d t + i ∫ α β [ u ( t ) y ′ ( t ) + v ( t ) x ′ ( t ) ] d t
即
∫ c f ( z ) d z = ∫ α β f [ z ( t ) ] z ′ ( t ) d t , (2)
或
∫ c f ( z ) d z = ∫ α β Re { f [ z ( t ) ] z ′ ( t ) } d t + i ∫ α β Im { f [ z ( t ) ] z ′ ( t ) } d t . (3)
用公式(1.2)或(1.3)计算复变函数的积分，是从积分路径C的参数方程出发的，称为参数方程法。
例3.2 [
解C的参数方程为： z − z 0 = r e i θ , 0 ≤ θ ≤ 2 π 。故
∫ c 1 ( z − z 0 ) n d z = ∫ 0 2π i r e i θ r n e i n θ d θ = i r n − 1 ∫ 0 2π e − i ( n − 1 ) θ d θ = i r n − 1 ∫ 0 2π cos ( n − 1 ) θ d θ + 1 r n − 1 ∫ 0 2π sin ( n − 1 ) θ d θ = { 2 π i , n = 1 ; 0 , n ≠ 1.
注：此例3.2中积分曲线C比较特殊是以 z 0 为中心，r为半径的圆周，被积函数 1 ( z − z 0 ) n 的奇点 z 0 刚好是C的圆心，如果C是包含 z 0 的任意闭曲线，则例3.2就不能直接用参数方程法来做了，下面讨论将例3.2推广后的情形。
引理2.1 (复合闭路定理)设C为复连通区域D的一条简单闭曲线， C 1 , C 2 , ⋯ , C n 是在C内部的简单闭曲线，他们互不相交，互不包含，并且以 C , C 1 , C 2 , ⋯ , C n 为边界的区域全含于D，如果 f ( z ) 在D内解析，则有
∫ c f ( z ) d z = ∑ k = 1 n ∫ c k f ( z ) d z
其中C及 C k ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) 均取正方向。
证明见文献 [
例3.2’ 计算积分 ，其中n为任意整数，C为包含 z 0 的任意闭曲线。
解 以 z 0 为心， ρ 为半径的圆 包含于C，将 z 0 挖去，由复合闭路定理
∫ c 1 ( z − z 0 ) n d z = ∫ c 1 1 ( z − z 0 ) n d z
再根据例3.2
∫ c 1 ( z − z 0 ) n d z = ∫ c 1 1 ( z − z 0 ) n d z = { 2 π i n = 1 , 0 n ≠ 1.
这是例3.2更为普遍的形式，适用的范围更广。
在例3.2’中， n = 1 时，将被积函数 1 z − z 0 推广到 f ( z ) z − z 0 便得到我们的柯西积分公式。
定理2 设 f ( z ) 在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，在 D ¯ = D ∪ C 上连续， z 0 是D内任一点，则
f ( z 0 ) = 1 2 π i ∮ c f ( z ) z − z 0 d z
或
∮ c f ( z ) z − z 0 d z = 2 π i f (z0)
注：此定理的证明见 [
在例3.2’中， n ≠ 1 时，继续将被积函数 推广到 f ( z ) ( z − z 0 ) n 便得到我们的解析函数的高阶导数公式。
定理3 设 在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，在 D ¯ = D ∪ C 上连续，则 f ( z ) 的各阶导数均在D内解析，对D内任一点 z 0 ，有
f ( n ) ( z 0 ) = n ! 2 π i ∮ c f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z ( n = 1 , 2 , ⋯ )
此式叫做解析函数的高阶导数公式。可以从两个方面应用这个公式：一方面用求积分来代替求导数；另一方面则是用求导数的方法来计算复积分，即
∮ c f ( z ) ( z − z 0 ) n + 1 d z = 2 π i n ! f ( n ) ( z 0 ) .
从而为某些复积分的计算开辟了新的途径。
从以上讨论可知，例3.2与复积分计算的参数方程法，柯西积分公式和解析函数的高阶导数公式之间存在密切联系，了解它们之间的内在联系有助于我们更好地学习复积分的计算方法，而且可以帮助我们研究解析函数的许多重要性质。
河南省高等学校重点项目(19A110031)，任务驱动下的复变函数教学研究与实践(2017jgxm26)。
司红颖. 柯西积分公式的一点注记A Note on Cauchy Integral Formula[J]. 理论数学, 2019, 09(03): 282-286. https://doi.org/10.12677/PM.2019.93037