李月，侯安然

云南师范大学数学学院，云南 昆明

收稿日期：2019年4月15日；录用日期：2019年4月26日；发布日期：2019年5月9日

应用 [1] 中的Theorem 1.1来研究下面的方程

{ − Δ u = β ( 1 | x | μ ∗ F ( u ) ) f ( u ) + λ u − | u | p − 2 u + h ( x ) , x ∈ Ω u = 0 ,   x ∈ ∂ Ω

其中， Ω ⊂ R 3 是具有光滑边界的有界开集， h ∈ L 2 ( Ω ) ， 0 < μ < 3 ， 4 < p < 6 ，， λ > 0 。非线性函数 f ∈ C ( ℝ , ℝ ) 在满足一定条件下得出该方程至少有三个弱解。

关键词 :Choquard方程，三临界点

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近年来，越来越多的人开始关注整数阶Choquard方程

− ε 2 Δ u + V ( x ) u = ε μ − N ( 1 | x | μ ∗ F ( u ) ) f ( u ) + h ( u ) , x ∈ ℝ N (1.1)

此外，也有很多人研究(1.1)式中 ε = 1 时的经典问题。当， V = 1 ， 且 h = 0 时，(1.1)式就会是著名的Choquard-Pekar方程

当 N = 3 ， q = 2 且 μ = 1 时的情况，是1954年Pekar在 [2] 中用来描述极化子静止时的量子理论时提出的。(1.2)式是1976年Choquard在 [3] 中描述单组分等离子体的Hartree-Fock理论时提出的。Lions在 [4] 中由临界点定理得到方程在 H 1 ( ℝ N ) 中有无穷多镜像解的存在性。对于基态解的一些性质，L. Ma和L. Zhao在 [5] 中证明了对于 q ≥ 2 时，广义的Choquard方程(1.2)式的每个正解都是径向对称的，并且单调递减到某一点。后来Moroz和Schaftingen在 [6] [7] 中消除了这种限制，并得出最佳参数的、基态的正则性和径向对称性，并推导出这些解在无限远处渐近衰减。还有一些人专注于半经典问题，即(1.1)式中的 ε → 0 。非局部问题(1.1)的半经典解的存在性已经在 [8] 中给出。

在证明解的存在性时，临界点理论是解决问题的基本工具之一。1978年P. H. Rabinowitz在文献 [9] 介绍了鞍点理论，这迅速成为临界点理论的基础，也是极大极小原理之一。Jonas Volek在文献 [1] 中提出，如果泛函满足P. H. Rabinowitz的鞍形假设，再满足PS紧性条件以及下方有界，就可以得出方程至少有三个临界点。到目前为止，人们主要研究关于整数阶Choquard方程解的存在性、多重性以及集中性，据我们掌握的文献来看，还没有人研究Choquard方程的三临界点问题。因此受文献 [1] 中方法的启发，本文就对如下整数阶Choquard方程进行研究

{ − Δ u = β ( 1 | x | μ ∗ F ( u ) ) f ( u ) + λ u − | u | p − 2 u + h ( x ) , x ∈ Ω u = 0 , x ∈ ∂ Ω (1.3)

其中， Ω ⊂ R 3 是具有光滑边界的有界开集， h ∈ L 2 ( Ω ) ， 0 < μ < 3 ， 4 < p < 6 ， β > 0 ， λ > 0 。非线性函数 f ∈ C ( ℝ , ℝ ) ， f ≥ 0 ，在 t ≤ 0 时有 f ( t ) = 0 ，且满足：

(f₁) lim t → 0 f ( t ) t = 0 .

(f₂) ∃ q ∈ ( 6 − μ 3 , min { 6 − μ , p 2 } ) s . t . lim t → ∞ f ( t ) t q − 1 = 0 .

得出如下结论：

定理1.1 设 λ k < λ < λ k + 1 ，存在 α 0 > 0 ， β 0 > 0 使得 ‖ h ‖ 2 < α 0 ， β ∈ ( 0 , β 0 ) 时，方程(1.3)式至少有三个弱解。

设 Ω ∈ ℝ 3 是具有光滑边界的有界开集，Sobolev空间 W 0 1 , 2 ( Ω ) 的范数为

‖ u ‖ 1 , 2 = ( ∫ Ω | ∇ u | 2 d x ) 1 2

Lebesgue空间 L p ( Ω )   ( p ≥ 1 ) 的范数为

接下来介绍一些本文用到的结论。

引理2.1 (Hardy-Littlewood-Sobolev不等式) 令 t , r > 1 且 0 < μ < N 使得 1 r + μ N + 1 t = 2 。若 f ∈ L r ( ℝ N ) 且 h ∈ L t ( ℝ N ) 。则存在一个与都无关的常数 C ( r , N , μ , t ) > 0 ，使得

∬ ℝ 2 N f ( x ) h ( y ) | x − y | μ d x d y ≤ C ( r , N , μ , t ) ‖ f ‖ r ‖ h ‖ t

引理2.2 ( [1] , Theorem1.1) 设X是实Banach空间， X = Y ⊕ Z 其中 Y ≠ 0 维数有限。假设 J ∈ C 1 ( X , ℝ ) 有下界，并且满足

(R) ∃ R > 0 s . t . max u ∈ ∂ B Y ( R ) J ( u ) < inf u ∈ Z J (u)

(PS) 对任意的序列 { u n } ⊂ X 使得 { J ( u n ) } ⊂ ℝ 有界，并且 ‖ J ′ ( u n ) ‖ X ∗ → 0 有收敛子列。

则J至少有三个临界点。

经过计算可以推出方程(1.3)相应的能量泛函为

J ( u ) = 1 2 ∫ Ω | ∇ u | 2 d x − β 2 ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ F ( u ) ) F ( u ) d x − λ 2 ∫ Ω | u | 2 d x + 1 p ∫ Ω | u | p d x − 1 2 ∫ Ω | h ( x ) | 2 d x

引理2.3 设 h ∈ L 2 ( Ω ) ，则泛函J满足：

a) J ∈ C 1 ( W 0 1 , 2 ( Ω ) , ℝ ) 并且满足

〈 J ′ ( u ) , φ 〉 = ∫ Ω ∇ u ∇ φ d x − β ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ F ( u ) ) f ( u ) φ d x − λ ∫ Ω u φ d x + ∫ Ω | u | p − 2 u φ d x − ∫ Ω h ( x ) φ d x

其中 u , φ ∈ W 0 1 , 2 ( Ω ) 。

b) u ∈ W 0 1 , 2 ( Ω ) 是(1.3)的弱解，当且仅当 u ∈ W 0 1 , 2 ( Ω ) 是J的临界点。

由上述引理可知，想要证明定理1.1只需证明J有至少三个临界点。

引理2.4 设 h ∈ L 2 ( Ω ) 则泛函J在 W 0 1 , 2 ( Ω ) 上弱强制，即当 ‖ u ‖ 1 , 2 → ∞ 时，有且J有下界。

证明：根据(f₁)以及(f₂)可以得出，对任意的 ξ > 0 存在 C ξ > 0 使得下式成立

f ( t ) ≤ ξ | t | + C ξ | t | q − 1 , F ( t ) ≤ ξ | t | 2 + C ξ | t | q (2.1)

根据(2.1)以及引理2.1，可以推出下面不等式成立

| ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ F ( u ) ) F ( u ) d x | ≤ C ‖ F ( u ) ‖ t ‖ F ( u ) ‖ t ≤ C ( ∫ Ω ( | u | 2 + | u | q ) t d x ) 2 t ≤ C ( ‖ u ‖ 2 t 4 + ‖ u ‖ q t 2 q ) (2.2)

其中 t = 6 6 − μ 。注意到 t < 2 则有 2 t < p ， t q < 2 q < p 。故结合(2.1)和(2.2)式可以推出

J ( u ) = 1 2 ∫ Ω | ∇ u | 2 d x − β 2 ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ F ( u ) ) F ( u ) d x − λ 2 ∫ Ω | u | 2 d x     + 1 p ∫ Ω | u | p d x − 1 2 ∫ Ω | h ( x ) | 2 d x ≥ 1 2 ‖ u ‖ 1 , 2 2 − C ( ‖ u ‖ 2 t 4 + ‖ u ‖ q t 2 q ) − λ 2 ‖ u ‖ 2 2 + 1 p ‖ u ‖ p p − 1 2 ‖ h ‖ 2 2 ≥ 1 2 ‖ u ‖ 1 , 2 2 − C ( ‖ u ‖ p 4 + ‖ u ‖ p 2 q + λ 2 ‖ u ‖ p 2 ) + 1 p ‖ u ‖ p p − 1 2 ‖ h ‖ 2 2 (2.3)

当 ‖ u ‖ 1 , 2 → ∞ 时，有以下两种情况:

i) 若 ‖ u ‖ p 有界，则有 J ( u ) → ∞ 。

ii) 若 ‖ u ‖ p → ∞ ，则由 p > 2 q 以及 p > 4 可知~ J ( u ) → ∞ 。

故J是弱强制的。此外，由(2.3)式可推出

J ( u ) ≥ − C ( ‖ u ‖ p 4 + ‖ u ‖ p 2 q + λ 2 ‖ u ‖ p 2 ) + 1 p ‖ u ‖ p p − 1 2 ‖ h ‖ 2 2

不等式右边是与 ‖ u ‖ p 有关的函数，又因为 p > 2 q 且 p > 4 ，所以不等式右边是有下界的，故出J有下界。

因为J是 C 1 且下方有界，由文献 [10] 知J存在PS序列。又因为J是弱强制的，所以PS序列 { u n } 有界，因此有下面引理成立。

引理2.5 如果序列 { u n } ⊂ W 0 1 , 2 ( Ω ) 有界且 J ′ ( u n ) → 0 ，则 { u n } 有收敛子列。

证明：由 { u n } ⊂ W 0 1 , 2 ( Ω ) 有界可知，在子列意义下有

u n → 弱 u 于 W 0 1 , 2 ， u n → u 于 L t ( Ω ) ∀ t ∈ [ 1 , 2 ∗ )

注意到

o n ( 1 ) = 〈 J ′ ( u n ) , u n 〉 = ‖ u n ‖ 1 , 2 2 − β ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ F ( u n ) ) f ( u n ) u n d x     − λ ∫ Ω u n 2 d x + ∫ Ω | u n | p d x − ∫ Ω h ( x ) u n d x

故

‖ u n ‖ 1 , 2 2 = β ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ F ( u n ) ) f ( u n ) u n d x + λ ‖ u n ‖ 2 2 − ‖ u n ‖ p p + ∫ Ω h ( x ) u n d x + o n ( 1 ) (2.4)

此外

故

‖ u ‖ 1 , 2 2 = β ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ F ( u n ) ) f ( u n ) u d x + λ ‖ u ‖ 2 2 − ‖ u ‖ p p + ∫ Ω h ( x ) u d x + o n ( 1 ) (2.5)

因为 { u n } 有界，由(f₁)-(f₂)，引理2.1以及Hölder不等式可得出

| ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ F ( u n ) ) f ( u n ) u n d x − ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ F ( u n ) ) f ( u n ) u d x | ≤ ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ | F ( u n ) | ) | f ( u n ) | | u n − u | d x ≤ C ( ∫ Ω | F ( u n ) | t d x ) 1 t ( ∫ Ω | f ( u n ) | t | u n − u | t d x ) 1 t ≤ C ( ∫ Ω ( ξ | u n | + C ξ | u n | q − 1 ) t | u n − u | t d x ) 1 t

≤ C ( ∫ Ω | u n | t | u n − u | t d x + ∫ Ω | u n | ( q − 1 ) t | u n − u | t d x ) 1 t ≤ C ( ( ∫ Ω | u n − u | 2 t d x ) 1 2 + ( ∫ Ω | u n − u | q t d x ) 1 q ) 1 t = o n (1)

其中 t = 6 6 − μ 。结合(2.4)，(2.5)和(2.6)式可知 ‖ u n ‖ 1 , 2 → ‖ u ‖ 1 , 2 。又因为 u n → 弱 u 于 W 0 1 , 2 ( Ω ) ，所以有 u n → u 于 W 0 1 , 2 ( Ω ) 。

由引理2.4和引理2.5，我们有下面的引理成立。

引理3.1 设 h ∈ L 2 ( Ω ) ，则泛函J满足PS条件，即引理2.2的条件(PS)成立。

接下来证明J至少存在三个临界点，设 φ i ( i ∈ ℕ ) 为 W 0 1 , 2 ( Ω ) 中对应的特征值 λ i ( − Δ 算子的特征值)的特征函数且

Β = { φ i : i ∈ ℕ }

是 W 0 1 , 2 ( Ω ) 的规范正交基(参见文献 [11] 的Thm. 2.2.16)，并且 λ k < λ k + 1 。将 W 0 1 , 2 ( Ω ) 分解为 Y ⊕ Z ，其中

Y = { ∑ i = 1 k a i φ i : a i ∈ ℝ , φ i ∈ Β } , Z = { ∑ i = k + 1 ∞ a i φ i : a i ∈ ℝ , φ i ∈ Β } = Y ⊥ (3.1)

引理3.2 设 λ k < λ < λ k + 1 ，则存在 α > 0 对任意的且 ‖ h ‖ 2 < α ，都有泛函J满足引理2.2中的条件(R)，其中 Y , Z 满足(3.1)式。

证明：设 u ∈ Z 结合Parseval等式有下式成立

u = ∑ i = k + 1 ∞ a i φ i , ‖ u ‖ 1 , 2 2 = ∑ i = k + 1 ∞ a i 2

注意到 φ i 满足

λ i ∫ Ω | φ i ( x ) | 2 d x = ∫ Ω | ∇ φ i ( x ) | 2 d x = 1 ∀ i ∈ ℕ (3.2)

因为 λ < λ k + 1 所以有

∫ Ω | ∇ u ( x ) | 2 d x − λ ∫ Ω | u ( x ) | 2 d x = ∑ i = k + 1 ∞ a i 2 ( 1 − λ λ i ) ≥ ( 1 − λ λ k + 1 ) ‖ u ‖ 1 , 2 2 (3.3)

因此，对 u ∈ Z 由(3.3)以及嵌入定理可以得到

J ( u ) ≥ 1 2 ( 1 − λ λ k + 1 ) ‖ u ‖ 1 , 2 2 − β 2 ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ F ( u ) ) F ( u ) d x + 1 p ∫ Ω | u | 2 d x − 1 2 ∫ Ω | h ( x ) | 2 d x ≥ C 1 ( 1 − λ λ k + 1 ) ‖ u ‖ p 2 − β C 2 ( ‖ u ‖ p 2 + ‖ u ‖ p 2 q ) + 1 p ‖ u ‖ p p − 1 2 ‖ h ‖ 2 2 ≥ − 1 2 ‖ h ‖ 2 2 + α β (3.4)

上式中 α β = inf t ≥ 0 g β ( t ) ，其中

g β ( t ) = C 1 ( 1 − λ λ k + 1 ) t 2 + 1 p t p − β C 2 ( t 4 + t 2 q ) , t ≥ 0

我们断言，存在 β 0 > 0 ，当 时， α β ≥ 0 。又因为 2 q < p 且 p > 4 ，因此存在 t 0 > 0 ，当， β < 1 时，有

g β ( t ) ≥ C 1 ( 1 − λ λ k + 1 ) t 2 + 1 p t p − C 2 ( t 2 + t 2 q ) > 1

则 g β ( t ) 的最小值只能在区间 [ 0 , t 0 ] 上达到。因为 λ < λ k + 1 ，所以存在 β 0 > 0 ，当 β ∈ ( 0 , β 0 ) 时，对任意 t ∈ ( 0 , t 0 ) 有

g β ( t ) = t 2 ( C 1 ( 1 − λ λ k + 1 ) + 1 p t p − 2 − β C 2 ( t 2 + t 2 q − 2 ) ) ≥ t 2 ( C 1 ( 1 − λ λ k + 1 ) − β C 2 ( t 0 2 + t 0 2 q − 2 ) ) ≥ 0 (3.5)

所以 α β ≥ 0 。当取 u ∈ Y 时，有下式成立

u = ∑ i = 1 k a i φ i , ‖ u ‖ 1 , 2 2 = ∑ i = 1 k a i 2

由 λ k < λ ，以及(3.2)式可以推出

∫ Ω | ∇ u ( x ) | 2 d x − λ ∫ Ω | u ( x ) | 2 d x = ∑ i = 1 k a i 2 ( 1 − λ λ i ) ≤ ( 1 − λ λ k ) ‖ u ‖ 1 , 2 2 (3.6)

因此，对任意的 u ∈ Y 由Sobolev嵌入定理以及(3.6)有下式成立

J ( u ) ≤ 1 2 ( 1 − λ λ k ) ‖ u ‖ 1 , 2 2 − β 2 ∫ Ω ( 1 | x | μ ∗ F ( u ) ) F ( u ) d x + 1 p ‖ u ‖ p p − 1 2 ∫ Ω | h ( x ) | 2 d x ≤ 1 2 ( 1 − λ λ k ) ‖ u ‖ 1 , 2 2 + C ‖ u ‖ 1 , 2 p (3.7)

因此，结合(3.5)和(3.7)式可知，如果要证明引理2.3中条件(R)成立，当且仅当存在 R > 0 使得对 u ∈ Y ， ‖ u ‖ 1 , 2 = R 时要有下式成立

1 2 ( 1 − λ λ k + 1 ) ‖ u ‖ 1 , 2 2 + C ‖ u ‖ 1 , 2 p < − 1 2 ‖ h ‖ 2 2

记 ‖ u ‖ 1 , 2 = r 整理得出下式

记

Λ ( r ) = 1 2 ( 1 − λ λ k ) r 2 + C r p

因为 Λ ( r ) 与 ‖ u ‖ 2 无关，并且 λ k < λ 。故存在某个 R > 0 使得 Λ ( R ) 为 Λ ( r ) 的严格负的极小值。因此存在一个充分小的 α 0 > 0 使得

Λ ( R ) < − 1 2 ‖ h ‖ 2 2 ∀ ‖ h ‖ 2 < α 0

因此，对任意的 h ∈ L 2 ( Ω ) 且 ‖ h ‖ 2 < α 0 以及 u ∈ Y 且 ‖ u ‖ 1 , 2 = R 有

J ( u ) < − 1 2 ‖ h ‖ 2 2 ≤ inf u ∈ Z J (u)

因此满足引理2.2中的条件(R)。

综上所述，验证出引理2.2的所有条件都成立，所以泛函J至少存在三个临界点，即定理1.1成立。

李 月,侯安然. 整数阶Choquard方程三解的存在性Existence of Three Solutions for a Choquard Equation[J]. 理论数学, 2019, 09(03): 291-298. https://doi.org/10.12677/PM.2019.93039