侯安然，李月

云南师范大学，云南 昆明

收稿日期：2019年4月16日；录用日期：2019年4月27日；发布日期：2019年5月9日

这篇文章中，我们致力于研究磁性方程：

{ ( − i ∇ + A ( x ) ) 2 u + V ( x ) u = λ u − f ( u ) + h ( x )                       x ∈ Ω , u ( x ) = 0                                                                                                                             x ∈ ∂ Ω .

其中，是一个具有光滑边界的有界开集， A = ( A 1 , A 2 , ⋯ , A n ) : ℝ N → ℝ N 是一个磁性位势， ∇ A : = − i ∇ + A ， − Δ A : = ( − i ∇ + A ) 2 。在 f , V , h 满足一定条件时，此方程至少含有三个解。

关键词 :磁性算子，变分方法，临界点理论

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变分法是研究泛函极值的一种重要方法。它不仅与数学中众多分支相联系，而且在描述物理学、化学、生物学等各种问题中有着重要的作用。尤其是Schrödinger方程及Chquard方程广泛应用于电磁学、量子力学等领域。越来越多的实例证明，变分法是研究解的存在性及多重性最有利的工具之一。

结合变分法，本文应用 [1] 中的Theorem 1.1来研究下面的方程。

{ ( − i ∇ + A ( x ) ) 2 u + V ( x ) u = λ u − f ( u ) + h ( x )                       x ∈ Ω u ( x ) = 0                                                                                                                       x ∈ ∂ Ω (1.1)

其中， Ω ⊂ ℝ N 是具有光滑边界的有界开集， A = ( A 1 , A 2 , ⋯ , A n ) : ℝ N → ℝ N 是一个磁性位势，使得 A ∈ L l o c 2 ( ℝ N ) ， ∇ A : = − i ∇ + A ， − Δ A : = ( − i ∇ + A ) 2 。 且连续， h ∈ L 2 ( Ω ) ， λ > 0 。非线性函数 f ∈ C ( ℝ , ℝ ) ， f ≥ 0 ，在 t < 0 时有 f ( t ) = 0 ，且满足：

(f₁) lim t → 0 f ( t ) t = 0 。

(f₂) 存在 q ∈ ( 2 , 2 * ) ，使得 lim t → 0 f ( t ) t q − 1 = 0 。

(f₃) 存在 θ > 4 ，使得对于 t > 0 ， 0 < θ 2 F ( t ) < t f ( t ) 。其中 F ( t ) = ∫ 0 t f ( τ ) d τ 。

其中的整数阶磁性Laplacian算子： ∇ A : = − i ∇ + A ， − Δ A : = ( − i ∇ + A ) 2 ，当 A ≡ 0 时，也就是没有磁性位势，算子变成了 − Δ ，很多作者研究了

− Δ u + μ a ( x ) u = λ u + | u | p − 2 u (1.2)

类型问题的解的存在性和多重性，其中 α ≥ 0 是位势井，并带有次临界增长，也就是 p < 2 * ，更多结果参见文献 [2] [3] 。

另外，类似于(1.2)的方程类型，Clapp和Ding在文献 [4] 中利用变分法建立了临界的情形下，正解的存在性和多重性。对于有临界非线性项的Schrödinger方程，也可参见 [5] [6] 及其参考文献。在文献 [7] 中作者研究了带有径向缺失的二次非线性Schrödinger方程径向解的爆破，位于半径为 r 0 的球中。当 A ≠ 0 时，也就是方程带有磁势的问题，近期Lv在 [8] 中研究了

( − i ∇ + A ) 2 u + ( g 0 ( x ) + μ g ( x ) ) u = ( | x | − α ∗ | u | p ) | u | p − 2 u , u ∈ H 1 ( ℝ n , ℂ ) , (1.3)

其中 n ≥ 3 ， α ∈ ( 0 , n ) ， μ > 0 ， p ∈ ( 2 n − α n , 2 n + α n − 2 ) 。 g 0 和g是两个重要的函数，满足一些必要条件。他证明了当时的基态解的存在性，以及 μ → ∞ 时解的集中行为。在此类问题的研究中，Hardy-Littlewood-Sobolev不等式扮演了一个很重要的角色。

方程(1.3)中，如果 A = 0 ， g 0 = 0 ， g = 1 ， μ = 1 ，那么方程就变为

− Δ u + u = ( | x | − α ∗ | u | p ) | u | p − 2 u , u ∈ H 1 ( ℝ n ) .

这就是经典的Chquard方程，它出现在很多的物理学领域，尤其是关于非相对论的玻色子原子和分子的大系统量子论的方程，已经被很多国内外作者研究。例如，在 [9] 中，Lieb证明了

− Δ u + u = ( | x | − 1 ∗ | u | 2 ) u 于 ℝ n 中

在平移变换下，解的存在性和唯一性。2014年，Salazar在 [10] 中研究了下面的稳定非线性磁性Chquard方程

( − i ∇ + A ) 2 u + W ( x ) u = ( | x | − α ∗ | u | p ) | u | p − 2 u 于 ℝ n ，

其中 n ≥ 3 ， α ∈ ( 0 , n ) ， p ∈ [ 2 , 2 α 2 ) ， A ∈ ( ℝ n , ℝ n ) 是一个磁性位势， W ∈ ( ℝ n , ℝ ) 是个有界电势。

我们发现，各类磁性方程虽然被广泛的研究，但人们主要研究了解的存在性、多重性以及集中性，考虑P. H. Rabinowitz在1978年提出的鞍点理论，我们可以得出不一样的结果。Jonas Volek在文献 [1] 中提出，如果泛函满足P. H. Rabinowitz 的鞍形假设，再满足PS紧性条件以及下方有界，就可以得出方程至少有三个临界点：

定理1.1. ( [1] , Theorem 1.1) 设X是实Banach空间， X = Y ⊕ Z ，其中 Y ≠ 0 维数有限。假设 J ∈ C 1 ( X , ℝ ) 有下界，并且满足

(R) 存在 R > 0 使得 max u ∈ ∂ B R ( Y ) J ( u ) < inf u ∈ Z J ( u ) 。

(PS) 对任意的序列 { u n } ⊂ X 使得 { J ( u n ) } ⊂ ℝ 有界，并且 ‖ J ′ ( u n ) ‖ X * → 0 有收敛子列。

则J至少有三个临界点。

这是一个新的结果。于是，在本文中，我们就应用这个定理，做了一个带有连续位势的磁性方程至少存在三个解的证明。具体的证明过程我们将在第三部分及第四部分给出。

设

,

其中， A = ( A 1 , A 2 , ⋯ , A n ) : ℝ N → ℝ N 是一个磁性位势，使得 A ∈ L l o c 2 ( ℝ N ) 。 V ( x ) ≥ 0 。且连续。

定义内积如下：

( u , v ) H V , A ( ℝ N ) = ∫ ℝ N V ( x ) u v ¯ d x + ∑ i = 1 N ( ( ∂ j + i A j ) u , ( ∂ j + i A j ) v ) L 2 ( ℝ N ) .

从而我们得到 H V , A ( ℝ N ) 为Hilbert空间。记其范数为

‖ u ‖ V , A = ∫ Ω ( | ∇ A u | 2 + V ( x ) | u | 2 ) d x .

仿照Adam在 [11] 中定理3.6的证明可知， H V , A ( ℝ N ) 是可分的。

此外，当 H V , A ( ℝ N ) 中 V ≡ 1 时，我们得到空间 H A 1 ( ℝ N ) 。

设 Ω ⊂ ℝ N 是具有光滑边界的有界开集， C 0 ∞ ( Ω ) 在 H V , A ( ℝ N ) 中以范数 ‖ u ‖ H V , A ( ℝ N ) 生成的闭包记为 H V , A ( Ω ) 。 H V , A ( Ω ) 也是可分的Hilbert空间。记范数为：

‖ u ‖ V , A = ∫ Ω ( | ∇ A u | 2 + V ( x ) | u | 2 ) d x .

下面是我们众所周知的抗磁性不等式：

引理2.1. 当 n ≥ 4 时，如果 u ∈ H A 1 ( ℝ N ) ，那么 | u | ∈ H 1 ( ℝ N , ℝ ) ，并且有

| ∇ | u | ( x ) | ≤ | ∇ u ( x ) + i A ( x ) u ( x ) | a . e x ∈ ℝ N

成立。

由 [12] 我们得到，当 1 ≤ t ≤ 2 ∗ 时，有整数阶连续嵌入 H A 0 , 1 ( Ω ) ⊂ L t ( Ω , ℂ ) ，当 1 ≤ t < 2 ∗ 时，嵌入是紧的。继而我们可以得到

引理2.2. 当 1 ≤ t ≤ 2 ∗ 时， H V , A ( Ω ) ⊂ L t ( Ω , ℂ ) 是连续的，当 1 ≤ t < 2 ∗ 时，嵌入是紧的。也就是

‖ u ‖ L t ( Ω ) ≤ C ∗ ‖ u ‖ V , A .

其中 C ∗ 是一个嵌入常数。

经过计算，结合范数定义，可以推出方程(1.1)相应的能量泛函为

J V = 1 2 ‖ u ‖ V , A − λ 2 ∫ Ω | u | 2 d x + ∫ Ω F ( u ) d x − 1 2 ∫ Ω | h | 2 d x .

引理2.3. 设 h ∈ L 2 ( Ω ) ，则泛函 J V 满足：

(i) J V ∈ C 1 ( H V , A ( Ω ) , ℝ ) 并且满足

〈 J ′ V ( u ) , φ 〉 = 〈 u , φ 〉 − λ ∫ Ω f ( u ) φ d x − ∫ Ω h φ d x ,

其中， u , φ ∈ H V , A ( Ω ) 。

(ii) u ∈ H V , A ( Ω ) 是(1.1)的弱解，当且仅当 u ∈ H V , A ( Ω ) 是 J V 的临界点。

现在，我们来陈述文章的主要结果：

定理2.1. 设 λ k < λ < λ k + 1 ，存在 μ > 0 ，使得当 ‖ h ‖ 2 < μ 时，(1.1)有至少三个弱解。

由引理2.3可知，想要证明定理2.1只需证明 J V 有至少三个临界点。

引理3.1. 设 h ∈ L 2 ( Ω ) 则泛函 J V 在 H V , A ( Ω ) 上弱强制，即当 ‖ u ‖ V , A → ∞ 时，有 J V → ∞ 且 J V 有下界。

证明：根据(f₁)与(f₃)可得出，存在 C 1 , C 2 > 0 ，使得

F ( t ) ≥ C 1 | t | θ − C 2 . (3.1)

根据(2.2)可知，

| ∫ Ω F ( u ) d x | ≥ C 1 ∫ Ω | t | θ d x − C 2 | Ω | (3.2)

其中 | Ω | 为 Ω 的测度。

J V ( u ) = 1 2 ‖ u ‖ V , A 2 − λ 2 ∫ Ω | u | 2 d x + ∫ Ω F ( u ) d x − 1 2 ∫ Ω | h | 2 d x ≥ 1 2 ‖ u ‖ V , A 2 − c ( ‖ u ‖ L 2 ( Ω ) 2 + ‖ h ‖ L 2 ( Ω ) 2 ) + C 1 ‖ u ‖ L θ ( Ω ) θ − C 2 | Ω | ≥ 1 2 ‖ u ‖ V , A 2 − c ( ‖ u ‖ L θ ( Ω ) 2 + ‖ h ‖ L θ ( Ω ) 2 ) + C 1 ‖ u ‖ L θ ( Ω ) θ − C 2 | Ω | (3.3)

当 ‖ u ‖ V , A 时，有以下两种情况：

(i) 若 ‖ u ‖ L θ ( Ω ) 有界，则有 J V ( u ) → ∞ 。

(ii) 若 ‖ u ‖ L θ ( Ω ) → ∞ ，则由 θ > 2 可知 J V ( u ) → ∞ 。

故 J V ( u ) 是弱强制的。此外，由(3.3)可推出

J V ( u ) ≥ − c ( ‖ u ‖ L θ ( Ω ) 2 + ‖ h ‖ L θ ( Ω ) 2 ) + C 1 ‖ u ‖ L θ ( Ω ) θ (3.4)

不等式右边是与 ‖ u ‖ L θ ( Ω ) 有关的函数，因为 θ > 2 ，所以不等式右边是有下界的，故得出 J V 有下界。

因为 J V 是 C 1 连续且下方有界，由文献[ [13] , Theorem 2.4]知 J V 存在PS序列。又因为 J V 是弱强制的， 所以PS序列 { u n } 有界。因此有下面引理成立。

引理3.2. 如果序列 { u n } ⊂ H V , A ( Ω ) 有界且 J ′ V ( u n ) → 0 ，则 { u n } 有收敛子列。

证明：由 { u n } ⊂ H V , A ( Ω ) ，在子列意义下有

u n → 弱 u 于 H V , A ( Ω ) 且 u n → u 于 L t ( Ω ) ， ∀ t ∈ ( 1 , 2 * ) 。

注意到，

o n ( 1 ) = 〈 J ′ V ( u n ) , u n 〉 = ‖ u n ‖ V , A 2 − λ ∫ Ω u n 2 d x + ∫ Ω f ( u n ) u n d x − ∫ Ω h u n d x .

所以

‖ u n ‖ V , A 2 = λ ∫ Ω u n 2 d x + ∫ Ω f ( u n ) u n d x − ∫ Ω h u n d x . (3.5)

此外，

o n ( 1 ) = 〈 J ′ V ( u n ) , u 〉 = 〈 u n , u 〉 − λ ∫ Ω u n u d x + ∫ Ω f ( u n ) u n d x − ∫ Ω h u n d x .

所以

此外，由条件(f₁)及(f₂)有，对于任意的 ξ > 0 ，存在 C ξ > 0 ，使得

f ( t ) ≤ ξ | t | + C ξ | t | q − 1 ，其中 q ∈ ( 2 , 2 * ) 。 (3.7)

因为 { u n } 有界，及Hölder不等式，引理2.2以及(3.7)得出，

| ∫ Ω f ( u n ) u n d x − ∫ Ω f ( u n ) u d x | ≤ ∫ Ω | f ( u n ) | | u n − u | d x ≤ ∫ Ω ( | u n | + | u n | q − 1 ) | u n − u | d x = ∫ Ω | u n | | u n − u | d x + ∫ Ω | u n | q − 1 | u n − u | d x

≤ ( ∫ Ω | u n | 2 d x ) 1 2 ( ∫ Ω | u n − u | 2 d x ) 1 2         + ( ∫ Ω ( | u n | q − 1 ) q q − 1 d x ) q − 1 q ( ∫ Ω | u n − u | q d x ) 1 q = c ( ( ∫ Ω | u n − u | 2 d x ) 1 2 + ( ∫ Ω | u n − u | q d x ) 1 q ) = o n ( 1 ) (3.8)

结合(3.5)，(3.6)和(3.8)式可知 ‖ u n ‖ V , A → ‖ u ‖ V , A 。又因为 u n → 弱 u 于 H V , A ( Ω ) ，所以有 u n → u 于 H V , A ( Ω ) 。

我们定义算子 T : H V , A ( Ω ) → H V , A ( Ω ) 如下：

( T u , v ) H V , A ( Ω ) = ∫ Ω u v ¯ d x , ∀ u , v ∈ H V , A ( Ω ) .

那么算子T是线性的。

引理3.3. 线性算子 T : H V , A ( Ω ) → H V , A ( Ω ) 有特征值 λ n ， n = 1 , 2 , ⋯ ，且 λ n + 1 > λ n > 0 。且当 n → ∞ 时， λ n → ∞ 。

证明： ( u , T v ) H V , A ( Ω ) = ( T u , v ) H V , A ( Ω ) ¯ = ∫ Ω v u ¯ d x ¯ = ∫ Ω u v ¯ d x = ( T u , v ) H V , A (Ω)

因此T为自伴算子。设 u n → u 于 H V , A ( Ω ) ，由引理2.2知， u n → u 于 L 2 ( Ω ) 。此时，

当 n → ∞ 时，

( T u n − T u , v ) H V , A ( Ω ) = ( T ( u n − u ) , v ) H V , A ( Ω ) = ( u n − u , T v ) H V , A ( Ω ) → 0 .

所以 T u n → 弱 T u 于 H V , A ( Ω ) ，从而 { T u n } 在 H V , A ( Ω ) 中有界。因此

‖ T u n − T u ‖ V , A 2 = ( T u n − T u , T u n − T u ) H V , A ( Ω ) = ∫ Ω ( u n − u ) ( T u n − T u ¯ ) d x ≤ ‖ u n − u ‖ L 2 ( Ω ) ⋅ c ‖ T u n − T u ‖ V , A ≤ c ‖ u n − u ‖ L 2 ( Ω ) → 0

因此T为紧算子。另外 ∀ u ∈ H V , A ( Ω ) \ { 0 } ，有 ( T u , u ) H V , A ( Ω ) = ∫ Ω | u | 2 d x > 0 。因此T为正算子。

由 [14] 中的定理2.2.16，命题2.2.15以及推论2.2.13知，算子T存在一列正的特征值 1 λ n ，及一组对应的 H V , A ( Ω ) 中的正交基 { φ i } i = 1 ∞ ， 使得 T φ i = 1 λ n φ i 。另外，当 n → ∞ 时， 1 λ n → 0 ，即 λ n → ∞ 。

不妨设 ‖ φ i ‖ V , A = 1 ，则我们有

1 λ n ‖ φ i ‖ V , A 2 = 1 λ n ( φ i , φ i ) H V , A ( Ω ) = ( A φ i , φ i ) H V , A ( Ω ) = ∫ Ω | φ i | 2 d x

⇒ λ n ∫ Ω | φ i | 2 d x = ‖ φ i ‖ V , A 2 = 1 .

由引理3.1和引理3.2，我们有下面的引理成立。

引理4.1. 设 h ∈ L 2 ( Ω ) ，则泛函 J V 满足(PS)_c条件，即定理1.1中的条件(PS)成立。

证明：假设 { u n } 是 J V 的一个(PS)_c序列，结合 J V 是弱强制的，那么就可推出 J V 满足(PS)_c条件。

接下来证明 J V 至少存在三个临界点，设 φ i ( i ∈ N ) 为 H V , A ( Ω ) 中对应的特征值 λ i ( − Δ A 算子的特征值)的特征函数且 B = { φ i : i ∈ N } 是 H V , A ( Ω ) 的规范正交基，并且 λ k < λ k + 1 。将 H V , A ( Ω ) 分解为 Y ⊕ Z 。其中

Y = { ∑ i = 1 k a i φ i : a i ∈ ℝ , φ i ∈ B } , Z = { ∑ i = k + 1 ∞ a i φ i : a i ∈ ℝ , φ i ∈ B } = Y ⊥ . (4.1)

引理4.2. 设 λ k < λ < λ k + 1 ，则存在 a > 0 对任意的 h ∈ L 2 ( Ω ) 且 ‖ h ‖ L 2 ( Ω ) < a ，都有泛函 J V 满足条件(R)，其中 Y , Z 满足(4.1)。

证明：设 u ∈ Z ， 结合Parseval等式有下式成立

u = ∑ i = k + 1 ∞ a i φ i ，且 ‖ u ‖ V , A 2 = ∑ i = k + 1 ∞ a i 2 。

因此 φ i 满足

λ i ∫ Ω | φ i ( x ) | 2 d x = ‖ φ i ( x ) ‖ V , A 2 = 1 , ∀ i ∈ ℕ (4.2)

因为 λ < λ k + 1 所以有

‖ u ( x ) ‖ V , A 2 − λ ∫ Ω | u ( x ) | 2 d x = ∑ i = k + 1 ∞ a i 2 ( 1 − λ λ i ) ≥ ( 1 − λ λ k + 1 ) ‖ u ( x ) ‖ V , A 2 . (4.3)

因此，对 u ∈ Z ，由(4.3)及嵌入定理可以得到

J V ( u ) ≥ 1 2 ( 1 − λ λ k + 1 ) ‖ u ‖ V , A 2 − 1 2 ∫ Ω | h ( x ) | 2 d x + ∫ Ω F ( u ) d x ≥ − 1 2 ‖ h ‖ L 2 ( Ω ) 2 (4.4)

当取 u ∈ Y 时，有下式成立

u = ∑ i = 1 k a i φ i 且 ‖ u ‖ V , A 2 = ∑ i = 1 k a i 2 。

由 λ k < λ ，以及(4.2)可以推出

‖ u ( x ) ‖ V , A 2 − λ ∫ Ω | u ( x ) | 2 d x = ∑ i = 1 k a i 2 ( 1 − λ λ i ) ≤ ( 1 − λ λ k ) ‖ u ‖ V , A 2 . (4.5)

因此，对任意的 u ∈ Y ， ξ < λ λ k − 1 4 C * (由于 ξ 的任意性)。其中， C * 是引理2.2中的嵌入常数。

结合(4.5)及引理2.2(ii)可得

J V ( u ) ≤ 1 2 ( 1 − λ λ k ) ‖ u ‖ V , A 2 − 1 2 ∫ Ω | h ( x ) | 2 d x + ∫ Ω F ( u ) d x ≤ 1 2 ( 1 − λ λ k ) ‖ u ‖ V , A 2 + ξ ∫ Ω u 2 d x + C ξ ∫ Ω u q d x ≤ 1 2 ( 1 − λ λ k ) ‖ u ‖ V , A 2 + C * ξ ‖ u ‖ V , A 2 + C * C ξ ‖ u ‖ V , A q

< 1 2 ( 1 − λ λ k ) ‖ u ‖ V , A 2 + C * λ λ k − 1 4 C * ‖ u ‖ V , A 2 + C * C ξ ‖ u ‖ V , A q < 1 4 ( 1 − λ λ k ) ‖ u ‖ V , A 2 + C * C ξ ‖ u ‖ V , A q (4.6)

因此，如果要证明条件(R)成立，当且仅当存在 R > 0 使得对 u ∈ Y ， ‖ u ‖ V , A = R 时结合(4.4)以及(4.6)要有下式成立

1 4 ( 1 − λ λ k ) ‖ u ‖ V . A 2 + C * C ξ ‖ u ‖ V . A q < − 1 2 ‖ h ‖ L 2 ( Ω ) 2 . (4.7)

记 ‖ u ‖ V , A = r 整理得出下式

1 4 ( 1 − λ λ k ) r 2 + C * C ξ r q < − 1 2 ‖ h ‖ L 2 ( Ω ) 2 . (4.8)

记

Λ ( r ) = 1 4 ( 1 − λ λ k ) r 2 + C * C ξ r q .

因为 Λ ( r ) 与 ‖ h ‖ L 2 ( Ω ) 无关，并且 λ k < λ 。因为 q > 2 ，故存在某个 R > 0 充分小，使得 Λ ( R ) < 0 。因此存在一个充分小的 α 0 > 0 使得

Λ ( R ) < − 1 2 ‖ h ‖ L 2 ( Ω ) 2 , ∀ ‖ h ‖ L 2 ( Ω ) 2 < α 0 .

因此，对任意的 h ∈ L 2 ( Ω ) 且 以及 u ∈ Y 且有

Λ ( R ) < − 1 2 ‖ h ‖ L 2 ( Ω ) 2 ≤ inf u ∈ Z J V ( u ) ,

因此满足(R)式。

综上所述，验证出定理1.1的所有条件都成立，所以泛函 J V 至少存在三个临界点，即方程至少存在三个弱解。

侯安然,李 月. 磁性方程三个解的存在性Existence of Three Solutions for a Magnetic Equation[J]. 理论数学, 2019, 09(03): 299-307. https://doi.org/10.12677/PM.2019.93040