李磊

广西师范大学，数学与统计学院，广西 桂林

收稿日期：2019年4月16日；录用日期：2019年4月27日；发布日期：2019年5月9日

本文利用上下解与伪单调算子方法讨论一类p-Laplace方程的Dirichlet问题解的存在性问题。

关键词 :上下解，伪单调算子，p-Laplace

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因为含p-Laplace算子 Δ p ( Δ p u = d i v ( | ∇ u | p − 2 ∇ u ) ) 的微分方程的边值问题在非牛顿力学、宇宙物理、血浆问题和弹性理论等诸多领域有着广泛的应用，所以对此类问题的研究吸引了很多学者的目光。

本文考虑一类具有p-Laplace算子方程的Dirichlet边值问题：

{ − a ( ∫ | u | q ) d i v ( | ∇ u | p − 2 ∇ u ) = h 1 ( x , u ) f ( ∫ | u | m ) + h 2 ( x , u ) g ( ∫ | u | r ) ,         x ∈ Ω , u = 0 , x ∈ ∂ Ω . (1)

解的存在性。该方程满足下列假设：

(H₁) Ω ⊂ R N ，是一个有界的区域且边界光滑。

(H₂) q , m , r ∈ [ 1 , + ∞ ) 。

(H₃)是连续的函数。

(H₄) a , f , g : [ 0 , + ∞ ) → ( 0 , + ∞ ) 是连续的函数且 f , g ∈ L ∞ ( [ 0 , + ∞ ) ) 。

(H₅) inf t ∈ [ 0 , + ∞ ) a ( t ) , inf t ∈ [ 0 , + ∞ ) f ( t ) , inf t ∈ [ 0 , + ∞ ) g ( t ) ≥ a 0 > 0 。

解的存在性问题一直是偏微分方程研究中的重要课题，注意到p = 2时，方程(1)化为一类含有Laplace算子的边值问题：

{ − a ( ∫ | u | q ) Δ u = h 1 ( x , u ) f ( ∫ | u | m ) + h 2 ( x , u ) g ( ∫ | u | r ) ,         x ∈ Ω , u = 0 , x ∈ ∂ Ω . (2)

文 [1] 在满足H₁~H₅的假设条件下，使用上下解与伪单调算子的方法证明方程(2)至少存在一个解。

在偏微分方程理论中，解的存在性与不存在性都与所选取的函数空间有关，本文所选取的函数空间是依赖于参数p的，其中。之所以这样做是为了使结果具有一般性。需要强调的是，方程(1)、方程(2)所选取的函数空间是不同的。由文 [1] 知，方程(2)选取的函数空间是 H 0 1 ( Ω ) 并且证明了解存在且解 u ∈ H 0 1 ( Ω ) 。本文选取的函数空间是 W 0 1 , p ( Ω ) ，本文的目的在于使用上下解与伪单调算子方法证明方程(1)的解存在且解。此外，由于p-Laplace算子的非线性性，对比于 p = 2 的特殊情形解的存在性

结果的建立需要更精细的讨论。本文将得到与文 [1] p = 2 情形相一致的结果 (本文规定 )

本文所得的结果是：

定理1 在满足(H₁~H₅)的假设下，假设方程(1)存在上下解 u _ , u ¯ ∈ W 0 1 , p ( Ω ) ∩ L ∞ ( Ω ) 并且满足下列条件：

u _ ( x ) ≤ 0 ≤ u ¯ ( x ) , x ∈ ∂ Ω , (3)

− Δ p u ¯ ≥ 1 a 0 ( h 1 ( x , u ¯ ) ‖ f ‖ ∞ + h 2 ( x , u ¯ ) ‖ g ‖ ∞ ) ,     x ∈ Ω . (4)

− Δ p u _ ≤ a 0 Γ ( h 1 ( x , u _ ) + h 2 ( x , u _ ) ) ,     x ∈ Ω . (5)

那么对于所有的，方程(1)至少存在一个解 u ∈ W 0 1 , p ( Ω ) ∩ L ∞ ( Ω ) 使得：

a ( ∫ | u | q ) ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ ϕ = f ( ∫ | u | m ) ∫ h 1 ( x , u ) ϕ + g ( ∫ | u | r ) ∫ h 2 ( x , u ) ϕ (7)

成立并且满足。

为证明定理1我们先做一些必要准备。

定义2.1 (见文献 [2] [3] )称算子 B : X → X *

a) 是有界算子，如果 ∀ u ∈ X ， { B u } 是 X * 中的有界凸集。

b) 是强制算子，如果满足

lim ‖ u ‖ → ∞ 〈 B u , u 〉 ‖ u ‖ = ∞ . (8)

c) 是伪单调算子，如果满足 u n → u 在 σ ( X , X * ) 中，且

lim n → ∞ sup 〈 B u n , u n − u 〉 ≤ 0 , (9)

则对任意的 w ∈ X ，有

引理2.2 (Brezis) (见文献 [4] )算子 B : X → X * 是伪单调的，有界的，强制的。X是实自反的可分的Banach空间，则对于任意的 b ∈ X * ，方程 B u = b 存在解 u ∈ X 。

定义2.3 (见文献 [5] )设X是一个 B * 空间， { x n } ⊂ X , x ∈ X 。称 { x n } 弱收敛到x，记做 x n → x ，是指：对于 ∀ f ∈ X * 都有。这时x称做点列的弱极限。

引理2.4 设 f n ( n = 1 , 1 , 3 , ⋯ ) , f ∈ L p ( Ω ) ，若对每一个 g ∈ L q ( Ω ) (q为p的共轭数)，当 n → ∞ 时，有 ∫ f n g → ∫ f g ，则称 f n 弱收敛于f。

证明：因为 ( L p ( Ω ) ) * = L q ( Ω ) ，可令 g ( f n ) = ∫ f n g , g ( f ) = ∫ f g ，那么 g ( f n ) → g ( f ) ，再由定义2.3知 f n 弱收敛于f。

定义2.5 (见文献 [5] )设X是 B * 空间， f n ⊂ X * , f ∈ X * 。称 f n ∗ 弱收敛到f记做 w * − lim n → ∞ f n = f ，是指：对于 ∀ x ∈ X ，都有 lim n → ∞ f n ( x ) = f ( x ) 。这时f称做泛函序列 f n 的*弱极限。

定义2.6 (见文献 [6] )设X是一个赋范空间，如果在典型映射的意义下 X = X * * ，则称空间X是自反的。

引理2.7 (见文献 [5] )当X是一个自反空间时，*弱收敛与弱收敛等价。

引理2.8 (见文献 [7] )对任意 p ≥ 2 下面不等式成立：

( | ξ | p − 2 ξ − | η | p − 2 η ) ( ξ − η ) ≥ 2 2 − p | ξ − η | p . (11)

引理2.9 (见文献 [8] ) (Holder不等式)设 1 ≤ p ≤ ∞ ， q = p p − 1 。若 u ∈ L p ( Ω ) , v ∈ L q ( Ω ) ，则 u v ∈ L 1 ( Ω ) ，并且 ∫ Ω | u v | d x ≤ ‖ u ‖ p ‖ v ‖ q 。

第一步，构造修正问题：

定义截断函数：

ζ ( x , t ) = { u _ ( x ) , t ≤ u _ ( x ) , t , u _ ( x ) ≤ t ≤ u ¯ ( x ) , u ¯ ( x ) , t ≥ u ¯ ( x ) .

令：

因为 h i : Ω ¯ × R → R + 是连续的函数，所以可令 M i = max ( h i ( x , u ) | x ∈ Ω ¯ , u ∈ [ u _ , u ¯ ] ) ，再由 h ^ i ( x , u ) 的定义易得： | h i ( x , u ) | ≤ M i 。

定义函数：

γ ( x , t ) = − ( u _ − t ) + l + ( t − u ¯ ) + l , (12)

其中， p − 1 p ≤ l ≤ p − 1 。

再定义修正函数： H ( x , u , s , t ) = h ^ 1 ( x , u ) s + h ^ 2 ( x , u ) t − γ ( x , u ) 。

利用上述函数我们研究下列Dirichlet问题：

{ − a ( ∫ | u | q ) Δ p u = H ( x , u , f ( ∫ | ζ ( x , u ) | m ) , g ( ∫ | ζ ( x , u ) | r ) ) ,         x ∈ Ω , u = 0 , x ∈ ∂ Ω . (13)

第二步，对H作出估计：

在 u < u _ 时： | H ( x , u , f , g ) | = h ^ 1 f + h ^ 2 g + ( u _ − u ) + l > 0 ，此时，对方程(13)用最值原理易得： u _ > u > 0 ，因此：

| H ( x , u , f , g ) | = | h ^ 1 f + h ^ 2 g + ( u _ − u ) + l | ≤ | h ^ 1 f | + | h ^ 2 g | + | ( u _ − u ) + l | ≤ | h ^ 1 f | + | h ^ 2 g | + | u _ | l . (14)

在时：

| H ( x , u , f , g ) | ≤ | h ^ 1 f + h ^ 2 g | . (15)

第三步，证明 H ∈ L p * ( Ω ) ：

已知 u ¯ , u _ ∈ L ∞ ( Ω ) ，显然有 u ¯ , u _ ∈ L l p * ( Ω ) 。

令，利用上述条件以及Minkowski不等式我们有：

( ∫ | H ( x , u , f , g ) | p * ) 1 p * ≤ ( ∫ | h ^ 1 f | p * ) 1 p * + ( ∫ | h ^ 2 g | p * ) 1 p * + ( ∫ | u _ | l p * ) 1 p * ≤ Γ 1 ( ∫ | h ^ 1 | p * ) 1 p * + Γ 2 ( ∫ | h ^ 2 | p * ) 1 p * + ( ∫ | u _ | l p * ) 1 p * ≤ Γ 1 M 1 | Ω | 1 p * + Γ 2 M 2 | Ω | 1 p * + ( ∫ | u _ | l p * ) 1 p * < ∞

所以有 H ∈ L p * ( Ω ) ，且与u的选取无关。

第四步，作算子： B : W 0 1 , p ( Ω ) → ( W 0 1 , p ( Ω ) ) * 。

〈 B ( u ) , v 〉 = a ( ∫ | ζ ( x , u ) | q ) ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ v − ∫ H ( x , u , f ( ∫ | ζ ( x , u ) | m ) , g ( ∫ | ζ ( x , u ) | r ) ) v , (16)

对任意。

第五步，证明B是有界的：

已知 u ∈ W 0 1 , p ( Ω ) ，

〈 B ( u ) , v 〉 = a ( ∫ | ζ ( x , u ) | q ) ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ v − ∫ H ( x , u , f ( ∫ | ζ ( x , u ) | m ) , g ( ∫ | ζ ( x , u ) | r ) ) v ≤ a ( ∫ | ζ ( x , u ) | q ) ∫ | ∇ u | p − 1 | ∇ v | + ∫ | H ( x , u , f ( ∫ | ζ ( x , u ) | m ) , g ( ∫ | ζ ( x , u ) | r ) ) | | v | ≤ Γ ( ∫ | ∇ u | p ) 1 p * ( ∫ | ∇ v | p ) 1 p + ( ∫ | H ( x , u , f ( ∫ | ζ ( x , u ) | m ) , g ( ∫ | ζ ( x , u ) | r ) ) | p * ) 1 p * ( ∫ | v | p ) 1 p ≤ C ‖ v ‖ W 0 1 , p ( Ω ) , (17)

其中， ( p − 1 ) p * = p ，那么由上式知B是有界的。

第六步，证明B是强制的：

〈 B ( u ) , v 〉 ‖ u ‖ = a ( ∫ | ζ ( x , u ) | q ) ∫ | ∇ u | p − ∫ H ( x , u , f ( ∫ | ζ ( x , u ) | m ) , g ( ∫ | ζ ( x , u ) | r ) u ) ‖ u ‖ ≥ a 0 ( ∫ | ∇ u | p ) 1 − 1 p − ( ∫ | H ( x , u , f ( ∫ | ζ ( x , u ) | m ) , g ( ∫ | ζ ( x , u ) | r ) ) | p * ) 1 p * ( ∫ | u | p ) 1 p ‖ u ‖ ,

( ‖ u ‖ = ( ∫ | ∇ u | p ) 1 p ) ,

当 ‖ u ‖ → ∞ 时，则

〈 B ( u ) , v 〉 ‖ u ‖ → ∞ ,

因此，B是强制的。

第七步，证明B是一个伪单调算子：

根据定义(2.1)就是证明如果且 u n → w u 并且：

lim n → ∞ sup 〈 B ( u n ) , u n − u 〉 ≤ 0 , (18)

那么有：

lim n → ∞ inf 〈 B ( u n ) , u n − v 〉 ≥ 〈 B ( u ) , u − v 〉 , ∀ v ∈ W 0 1 , p ( Ω ) . (19)

已知 u n → w u 且 u n , u ∈ L p ( Ω ) ，又由第三步知，与选取无关且，根据引理(2.4)得：

又已知

lim n → ∞ sup 〈 B ( u n ) , u n − u 〉 ≤ 0 ,

因此

lim n → ∞ sup ∫ | ∇ u n | p − 2 ∇ u n ( ∇ u n − ∇ u ) ≤ 0. (20)

根据弱收敛的定义(2.3)可得：

lim n → ∞ 〈 B ( u ) , u n − u 〉 = 0 ,

类似可以证明：

lim n → ∞ ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ( ∇ u n − ∇ u ) = 0. (21)

联合(20)，(21)两式可得：

0 ≥ lim n → ∞ ∫ ( | ∇ u n | p − 2 ∇ u n − | ∇ u | p − 2 ∇ u ) ( ∇ u n − ∇ u ) ≥ lim n → ∞ ∫ 2 2 − p | ∇ u n − ∇ u | p ≥ 0 , (22)

进而得出：

∫ | ∇ u n − ∇ u | p → 0 , (23)

所以有： u n → u 。

由(22)，(23)易知：

lim n → ∞ 〈 B ( u n ) − B ( u ) , u n − u 〉 = 0 , (24)

又已知 W 0 1 , p ( Ω ) 是自反空间联合引理(2.7)可得：

lim n → ∞ inf 〈 B ( u n ) , u n − v 〉 ≥ lim n → ∞ inf 〈 B ( u n ) , u n 〉 − lim n → ∞ sup 〈 B ( u n ) , v 〉 = lim n → ∞ inf 〈 B ( u n ) , u n − u 〉 + lim n → ∞ 〈 B ( u n ) , u 〉 − 〈 B ( u ) , v 〉 = lim n → ∞ 〈 B ( u ) , u n − u 〉 + 〈 B ( u ) , u 〉 − 〈 B ( u ) , v 〉 = 〈 B ( u ) , u 〉 − 〈 B ( u ) , v 〉 = 〈 B ( u ) , u − v 〉 . (25)

这就证明了B是伪单调算子。

所以B是有界的、强制的、伪单调的，根据引理(2.2)可知方程(13)有解已经证明。

第八步，我们证明方程(1)有解：

即证明 u _ ≤ u ≤ u ¯ 。

先令 ϕ = ( u − u ¯ ) + ，

a ( ∫ | u | q ) ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ ( u − u ¯ ) + = ∫ H ( x , u , f ( ∫ | ζ ( x , u ) | m ) , g ( ∫ | ζ ( x , u ) | r ) ) ( u − u ¯ ) + ,

进而有：

a ( ∫ | u | q ) ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ ( u − u ¯ ) + = f ( ∫ | ζ ( x , u ) | m ) ∫ h 1 ( x , u ) ( u − u ¯ ) + + g ( ∫ | ζ ( x , u ) | r ) ∫ h 2 ( x , u ) ( u − u ¯ ) + − ∫ γ ( x , u ) ( u − u ¯ ) + ,

因此，

∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ ( u − u ¯ ) + ≤ 1 a 0 ‖ f ‖ ∞ ∫ h 1 ( x , u ¯ ) ( u − u ¯ ) + + 1 a 0 ‖ g ‖ ∞ ∫ h 2 ( x , u ¯ ) ( u − u ¯ ) + − 1 a ( ∫ | u | q ) ∫ ( u − u ¯ ) + l + 1 .

对(4)分步积分可得：

∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ ( u − u ¯ ) + ≤ ∫ | ∇ u ¯ | p − 2 ∇ u ¯ ∇ ( u − u ¯ ) + − a ( ∫ | u | q ) ∫ ( u − u ¯ ) + l + 1 , ，

所以，

∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ ( u − u ¯ ) + − ∫ | ∇ u ¯ | p − 2 ∇ u ¯ ∇ ( u − u ¯ ) + ≤ − a ( ∫ | u | q ) ∫ ( u − u ¯ ) + l + 1 ≤ 0 ,

又由(11)知， 左 边 ≥ ∫ 2 2 − p | ∇ ( u − u ¯ ) + | p ≥ 0 ，进而有： ( u − u ¯ ) + = 0 。

再令 ϕ = ( u _ − u ) + ，

a ( ∫ | u | q ) ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ ( u _ − u ) + = ∫ H ( x , u , f ( ∫ | ζ ( x , u ) | m ) , g ( ∫ | ζ ( x , u ) | r ) ) ( u _ − u ) + ,

进而有：

a ( ∫ | u | q ) ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ ( u _ − u ) + = f ( ∫ | ζ ( x , u ) | m ) ∫ h 1 ( x , u ) ( u _ − u ) + + g ( ∫ | ζ ( x , u ) | r ) ∫ h 2 ( x , u ) ( u _ − u ) + − ∫ γ ( x , u ) ( u _ − u ) + .

又由前面的 h i 和的定义得到：

对(5)分步积分得：

∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ ( u _ − u ) + ≥ a 0 Γ ∫ h 1 ( x , u _ ) ( u _ − u ) + a 0 Γ ∫ h 1 ( x , u _ ) ( u _ − u ) + 1 Γ ∫ ( u _ − u ) + l + 1 ≥ ∫ | ∇ u _ | p − 2 ∇ u _ ∇ ( u _ − u ) + + 1 Γ ∫ ( u _ − u ) + l + 1 , (26)

进而有：

∫ | ∇ u _ | p − 2 ∇ u ∇ ( u _ − u ) + − ∫ | ∇ u | p − 2 ∇ u ∇ ( u _ − u ) + ≤ − 1 Γ ∫ ( u _ − u ) + l + 1 ≤ 0 ,

左 边 ≥ ∫ 2 2 − p | ∇ ( u _ − u ) + | p ≥ 0 ,

进而可得， ( u _ − u ) + = 0 。

综上， u _ ≤ u ≤ u ¯ 。

因此，定理1得证。

李 磊. 一类p-Laplace方程解的存在性问题Existence of Solution for One Class of p-Laplacian Problem[J]. 理论数学, 2019, 09(03): 308-315. https://doi.org/10.12677/PM.2019.93041