王小卉，纪培胜，董芳远

青岛大学，数学与统计学院，山东 青岛

收稿日期：2019年4月26日；录用日期：2019年5月6日；发布日期：2019年5月22日

本文主要介绍了偏 ν -度量空间中有关Meir-Keeler-Rational型映射的不动点定理，我们的结果推广了以往论文中的一些结论。

关键词 :Meir-Keeler-Rational型映射，偏 ν -度量空间，不动点

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Banach [1] 引入的Banach收缩原理是数学分析中最重要的结果之一，它是数学许多分支中应用最广泛的不动点理论，并在许多不同的方向上被进行了推广。其中一方面推广涉及度量空间的各种推广，且在新的框架中得到不动点的结果，例如，在b-度量空间、广义度量空间和偏序度量空间中发表了一些关于这个主题的论文。2014年，Shukla [2] 推广了b-度量空间和偏序度量空间，定义了偏b-度量空间的概念。Mitrovic和Radenovic [3] 推广了 ν -度量空间 [4] ，引入了 b ν ( s ) -度量空间的概念。Abdullahi和Kumam [5] 推广了偏序度量空间和 b ν ( s ) -度量空间，定义了偏 b ν ( s ) -度量空间，且在其中建立了不动点理论。他们在论文中提出了一些开放型问题：是否可以类似的在推广的 ν -度量空间， b ν ( s ) -度量空间，偏 b ν ( s ) -度量空间中证明Chatterjee型压缩、Hardy-Roger型压缩、Ciric型压缩和Suzuki型压缩的不动点问题。

另一方面是对压缩条件进行推广。Meir-Keeler [6] 采用了一种不同的方法来概括受到广泛关注的Banach收缩原理。准确地说，他们取得了以下令人印象深刻的结果。

定理1.1： [6] 假设映射A是完备度量空间 ( X , d ) 上的一个自映射，且满足下述条件：对给定的 ε > 0 ，存在 δ > 0 ，对于任意的 x , y ∈ X ，有

ε ≤ d ( x , y ) < ε + δ ⇒ d ( A x , A y ) < ε

这个结果随后被推广到很多方面。例如Jachymski [7] 提出了一些等同于Meir-Keeler类型条件的条件，并建立了一个完善的不动点理论，该理论将Meir-Keeler的理论广泛化。

定理1.2： [7] 假设映射A是完备度量空间 ( X , d ) 上的一个自映射，且满足下述条件：

1) 对给定的 ε > 0 ，存在 ，对于任意的 x , y ∈ X ，有

ε < m ( x , y ) < ε + δ ⇒ d ( A x , A y ) ≤ ε

其中

m ( x , y ) = max { d ( x , y ) , d ( x , A x ) , d ( y , A y ) , [ d ( x , A y ) + d ( y , A x ) ] / 2 } ;

2) 对任意的 x , y ∈ X ，且 m ( x , y ) > 0 ，

d ( A x , A y ) < m ( x , y )

若A是连续的则A有唯一的不动点。

本文中我们将在偏 ν -度量空间中建立推广的Meir-Keeler型映射的不动点理论，并且给出这一理论的一些直接的结果。

从现在开始，我们用 N , R , R + , R + 分别代表正整数，实数，正实数，非负实数。下面我们回顾一下偏 b ν ( s ) -度量空间的定义。

定义2.1： [5] 令X是非空集合，映射 d : X × X → [ 0 , ∞ ) ， ν ∈ N ，若对于任意的 x , y ∈ X ，存在互不相同的元素 u 1 , u 2 , ⋯ , u ν ∈ X ，且它们与x和y是互异的，有下列条件成立：

1) x = y 当且仅当 d ( x , y ) = d ( x , x ) = d ( y , y ) ；

2) d ( x , x ) ≤ d ( x , y ) ；

3) d ( x , y ) = d ( y , x ) ；

4) 存在 s ∈ R 且 s ≥ 1 ，有 d ( x , y ) ≤ s [ d ( x , u 1 ) + d ( u 1 , u 2 ) + ⋯ + d ( u ν , y ) ] − ∑ k = 1 ν d ( u k , u k ) (偏 b ν ( s ) -不等式)。

则d称为X上的偏 b ν ( s ) -距离， ( X , d ) 称为偏 b ν ( s ) -度量空间，且系数 s ≥ 1 。

注1 [5] 在偏 b ν ( s ) -度量空间 ( X , d ) 中，若对 x , y ∈ X ，有 d ( x , y ) = 0 ，则 x = y 。反之不一定成立。

注2 [5]

1) 偏 b 1 ( 1 ) -度量空间是偏度量空间 [8] ；

2) 偏 b 1 ( s ) -度量空间是偏b-度量空间，系数 s ≥ 1 [2] ；

3) 偏 b 2 ( 1 ) -度量空间是偏矩形度量空间 [9] ；

4) 偏 b 2 ( s ) -度量空间是偏矩形b-度量空间，系数 s ≥ 1 ；

5) 偏 b ν ( 1 ) -度量空间是偏 ν -度量空间。

定义2.2：令X是一个非空集合，映射 d : X × X → [ 0 , ∞ ) ， ν ∈ N 。若对任意的 x , y ∈ X ，存在互不相同的元素 u 1 , u 2 , ⋯ , u ν ∈ X ，且它们与x和y是互异的，有下列条件成立：

1) x = y 当且仅当 d ( x , y ) = d ( x , x ) = d ( y , y ) ；

2) d ( x , x ) ≤ d ( x , y ) ；

3) d ( x , y ) = d ( y , x ) ；

4) d ( x , y ) ≤ d ( x , u 1 ) + d ( u 1 , u 2 ) + ⋯ + d ( u ν , y ) − ∑ k = 1 ν d ( u k , u k ) (偏 ν -不等式)。

则d称为X上的偏 ν -距离。 ( X , d ) 称为偏-度量空间。

定义2.3： [5] 令 ( X , d ) 是偏 b ν ( s ) -度量空间，数列 { x n } ⊂ X ，且 x ∈ X 。则

1) 若 lim n → ∞ d ( x n , x ) = d ( x , x ) ，则数列 { x n } 称为X中的收敛列，且收敛于x。x称为数列 { x n } 的极限，记为 lim n → ∞ x n = x ，或 x n → x ， n → ∞ 。

2) 若 lim n , m → ∞ d ( x n , x m ) 存在，则数列 { x n } 称为X中的柯西列。

3) 若对于X中的每个柯西列 { x n } ，存在 x ∈ X ，且 lim n , m → ∞ d ( x n , x m ) = lim n , m → ∞ d ( x n , x ) = d ( x , x ) ，则 ( X , d ) 称为完备的偏 b ν ( s ) -度量空间。

在 [5] 中我们给出了一些例子来说明偏 b ν ( s ) -度量空间上的拓扑与推广的度量空间上的拓扑是不相容的 [10] 。因此，我们在偏 b ν ( s ) -度量空间中定义了连续性。

定义2.4：若当 n → ∞ ， x n → x ∈ X 时，有 T x n → T x ，则称映射T是连续的。

Samet等人 [11] 通过定义 α − ψ -收缩映射和 α -容许映射给出了一个有趣的结果，同时也推广了Banach收缩原理。

定义2.5： [11] 令T是集合X上的一个自映射，函数 α : X × X → [ 0 , ∞ ) ，我们称T是 α -容许映射，若对 x , y ∈ X ，下列条件成立：

α ( x , y ) ≥ 1 ⇒ α ( T x , T y ) ≥ 1

定义2.6： [12] 令X是非空集合，映射 T : X → X ，函数 α : X × X → [ 0 , ∞ ) 。我们称T是三角 α -容许映射，若有下列条件成立：

1) 对任意 x , y ∈ X ，且 α ( x , y ) ≥ 1 ，有 α ( T x , T y ) ≥ 1 成立。

2) 对任意的 x , y , z ∈ X ，且 α ( x , z ) ≥ 1 ， α ( z , y ) ≥ 1 ，有 α ( x , y ) ≥ 1 成立。

若对所有的 x ∈ X ，有 α ( x , x ) ≥ 1 成立，我们称 α 具有反身性。

引理2.1： [12] 令T是三角 α -容许映射。假设存在 x 0 ∈ X ，且 α ( x 0 , T x 0 ) ≥ 1 。通过如下方式来定义数列 { x n } ： x n = T n x 0 。则对所有的 m , n ∈ N ，且 m < n ，有 α ( x m , x n ) ≥ 1 成立。

下面的引理将用于证明我们的主要结论。

引理2.2：令 ( X , d ) 是偏 ν -度量空间，数列 { x n } 是X中的柯西列，当 n ≠ m 时，有 x n ≠ x m ，且 lim n , m → ∞ d ( x n , x m ) = 0 。则数列 { x n } 至多收敛于一个点。

证明：假设 x , y ∈ X 是数列 { x n } 的两个极限，且

lim n , m → ∞ d ( x n , x m ) = lim n , m → ∞ d ( x n , x ) = d ( x , x ) = lim n → ∞ d ( x n , y ) = d ( y , y )

由偏 ν -不等式，我们有

d ( x , y ) ≤ d ( x , x n + 1 ) + d ( x n + 1 , x n + 2 ) + ⋯ + d ( x n + ν − 1 , x n + ν ) + d ( x n + ν , y ) − ∑ k = 1 ν d ( x n + k , x n + k ) ≤ d ( x , x n + 1 ) + d ( x n + 1 , x n + 2 ) + ⋯ + d ( x n + ν − 1 , x n + ν ) + d ( x n + ν , y )

因为 lim n → ∞ d ( x n , x ) = lim n → ∞ d ( x n , y ) = lim n → ∞ d ( x n , x n + 1 ) = 0 ，我们得到 d ( x , y ) = 0 。由偏 ν -推广度量空间的定义，有 x = y 。

引理2.3：令 { a n } , { b n } 是非负数列。若 ， lim n → ∞ max { a n , b n } = a ，则 lim n → ∞ a n = a 。

在本文中，我们用 F ( T ) 代表映射T的不动点集合。

在这一节中，我们将在完备的偏 ν -度量空间中来证明我们的结论。

定理3.1：令 ( X , d ) 是完备的偏 ν -度量空间，函数 α : X × X → [ 0 , ∞ ) ，映射 T : X → X 。假设下列条件成立：

1) 对所有的，且 α ( x , y ) ≥ 1 , M ( x , y ) > 0 ，有

d ( T x , T y ) < M ( x , y ) (3.1)

其中

M ( x , y ) = max { d ( x , y ) , d ( x , T x ) , d ( y , T y ) , d ( x , T x ) d ( y , T y ) 1 + d ( x , y ) + d ( x , T y ) + d ( y , T x ) , d ( x , T x ) d ( y , T y ) 1 + d ( T x , T y ) } ;

2) 对任意的 ε > 0 ，存在 δ > 0 ，对所有的 x , y ∈ X ，有

α ( x , y ) ≥ 1 , M ( x , y ) < ε + δ ⇒ d ( T x , T y ) ≤ ε ; (3.2)

3) T是三角 α -容许映射，且 α 具有反身性；

4) 存在 x 0 ∈ X ，有 α ( x 0 , T x 0 ) ≥ 1 成立；

5) T是连续的。

则T有唯一的不动点u，且 { T n x 0 } 收敛于u。更进一步，若对所有的 x , y ∈ F ( T ) ，有 α ( x , y ) ≥ 1 ，则T在X中有唯一的不动点。

证明：令 x 0 ∈ X 且满足 α ( x 0 , T x 0 ) ≥ 1 。我们通过下列方式来构造数列 { x n } ： x n = T x n − 1 = T n x 0 ， n ∈ N 。若对某个 n ∈ N ，有 x n = x n + 1 ，则 x n 是T的不动点。在接下来的证明中，我们假设对所有的 n ∈ N ， x n ≠ x n + 1 。因为T是 α -容许映射，对所有的 n , m ∈ N ， n < m ，我们有

α ( x n , x m ) ≥ 1 (3.3)

1) 我们首先证明 lim n → ∞ d ( x n − 1 , x n ) = 0 。

在(3.1)中令 x = x n − 1 ， y = x n ，我们得到

d ( x n , x n + 1 ) = d ( T x n − 1 , T x n ) < M ( x n − 1 , x n ) (3.4)

其中

M ( x n − 1 , x n ) = max { d ( x n − 1 , x n ) , d ( x n − 1 , T x n − 1 ) , d ( x n , T x n ) , d ( x n − 1 , T x n − 1 ) d ( x n , T x n ) 1 + d ( x n − 1 , x n ) + d ( x n − 1 , T x n ) + d ( x n , T x n − 1 ) ,       d ( x n − 1 , T x n − 1 ) d ( x n , T x n ) 1 + d ( T x n − 1 , T x n ) } = max { d ( x n − 1 , x n ) , d ( x n − 1 , x n ) , d ( x n , x n + 1 ) , d ( x n − 1 , x n ) d ( x n , x n + 1 ) 1 + d ( x n − 1 , x n ) + d ( x n − 1 , x n + 1 ) , d ( x n − 1 , x n ) d ( x n , x n + 1 ) 1 + d ( x n , x n + 1 ) } = max { d ( x n − 1 , x n ) , d ( x n , x n + 1 ) } (3.5)

利用(3.4)和(3.5)，对所有的 n ∈ N ，我们得到

d ( x n , x n + 1 ) < d ( x n − 1 , x n ) (3.6)

因此 { d ( x n , x n + 1 ) } 是递减数列。故存在 r ≥ 0 ，使 lim n → ∞ d ( x n , x n + 1 ) = r 。明显地，对于所有的 n ∈ N ， d ( x n , x n + 1 ) > r 。若 r > 0 ，令 ε = r ，存在 δ > 0 ，对所有的 x , y ∈ X ，有

α ( x , y ) ≥ 1 , M ( x , y ) < ε + δ ⇒ d ( T x , T y ) ≤ ε (3.7)

因为对于所有的 n ∈ N ， d ( x n , x n + 1 ) = M ( x n , x n + 1 ) ， lim n → ∞ d ( x n , x n + 1 ) = r ，则存在 n 0 ∈ N ，对所有的 n ≥ n 0 ，有

M ( x n , x n + 1 ) = d ( x n , x n + 1 ) < r + δ

由(3.7)，对所有的 n ≥ n 0 ，我们得到 d ( x n + 1 , x n + 2 ) ≤ r ，这与 d ( x n , x n + 1 ) > r ， ∀ n ∈ N 是矛盾的。因此得到 r = 0 。因此

lim n → ∞ d ( x n , x n + 1 ) = 0 (3.8)

2) 下面我们证明对所有的 n ≠ m ，有 x n ≠ x m 。假设若对某一 n > m ，有 x n = x m 成立，因此我们得到

x n + 1 = T x n = T x m = x m + 1 。由(3.6)，得到 d ( x n , x n + 1 ) < d ( x n − 1 , x n ) < ⋯ < d ( x m , x m + 1 ) = d ( x n , x n + 1 ) ，矛盾。因此，对任意 n ≠ m ， x n ≠ x m 。

3) 接下来证明，对任意的 p ∈ N ，且 p ≥ 2 ，有 lim n → ∞ d ( x n , x n + p ) = 0 成立。

因为 lim n → ∞ d ( x n , x n + 1 ) = 0 ，对任意的 n ∈ N ，我们可以假设 d ( x n , x n + 1 ) < 1 。在(3.1)中，令 x = x n − 1 ， y = x n + p − 1 。因 M ( x n − 1 , x n + p − 1 ) ≥ d ( x n − 1 , x n + p − 1 ) > 0 ， α ( x n − 1 , x n + p − 1 ) ≥ 1 ，我们得到

d ( x n , x n + p ) < M ( x n − 1 , x n + p − 1 ) (3.9)

其中

M ( x n − 1 , x n + p − 1 ) = max { d ( x n − 1 , x n + p − 1 ) , d ( x n − 1 , T x n − 1 ) , d ( x n + p − 1 , T x n + p − 1 ) ,         d ( x n − 1 , T x n − 1 ) d ( x n + p − 1 , T x n + p − 1 ) 1 + d ( x n − 1 , x n + p − 1 ) + d ( x n − 1 , T x n + p − 1 ) + d ( T x n − 1 , x n + p − 1 ) , d ( x n − 1 , T x n − 1 ) d ( x n + p − 1 , T x n + p − 1 ) 1 + d ( T x n − 1 , T x n + p − 1 ) } = max { d ( x n − 1 , x n + p − 1 ) , d ( x n − 1 , x n ) , d ( x n + p − 1 , x n + p ) ,         d ( x n − 1 , x n ) d ( x n + p − 1 , x n + p ) 1 + d ( x n − 1 , x n + p − 1 ) + d ( x n − 1 , x n + p ) + d ( x n , x n + p − 1 ) , d ( x n − 1 , x n ) d ( x n + p − 1 , x n + p ) 1 + d ( x n , x n + p ) }

因为数列 { d ( x n , x n + 1 ) } 是递减的，且对所有的 n ∈ N ，有 d ( x n , x n + 1 ) < 1 ，故得到

M ( x n − 1 , x n + p − 1 ) = max { d ( x n − 1 , x n + p − 1 ) , d ( x n − 1 , x n ) } (3.10)

由(3.9)和(3.10)，得到

d ( x n , x n + p ) < max { d ( x n − 1 , x n + p − 1 ) , d ( x n − 1 , x n ) } (3.11)

令 a n = d ( x n , x n + p ) ， b n = d ( x n , x n + 1 ) ，故

a n < max { a n − 1 , b n − 1 }

因为 b n < b n − 1 ≤ max { a n − 1 , b n − 1 } ，因此对任意的 n ∈ N ，得到 max { a n , b n } < max { a n − 1 , b n − 1 } 。故数列 { max { a n , b n } } n ∈ N 是递减的，假设它收敛于某一 t ≥ 0 。因为 lim n → ∞ b n = 0 ，由引理2.3得到

lim n → ∞ a n = lim n → ∞ max { a n , b n } = t

若 t > 0 ，因为 lim n → ∞ b n = 0 ， lim n → ∞ a n = lim n → ∞ max { a n , b n } = t > 0 ，接下来，我们假设 a n > b n ， n ∈ N ，即 a n = max { a n , b n } > t ， n ∈ N 。

令 ε = t ，存在 δ > 0 ，对任意的 x , y ∈ X ，有

α ( x , y ) ≥ 1 , M ( x , y ) < ε + δ ⇒ d ( T x , T y ) ≤ ε (3.12)

因为对所有的 n ∈ N ， d ( x n , x n + p ) = M ( x n , x n + p ) ，且 lim n → ∞ d ( x n , x n + p ) = t ，则存在 n 0 ∈ N ，对 n ≥ n 0 ，有

M ( x n , x n + p ) = d ( x n , x n + p ) < t + δ

由(3.12)，对所有的 n ≥ n 0 ， d ( x n + 1 , x n + p + 1 ) ≤ t ，这与 d ( x n , x n + p ) > t ， n ∈ N 是矛盾的。故 t = 0 。即

lim n → ∞ d ( x n , x n + p ) = 0 (3.13)

4) 下面我们证明 lim n , m → ∞ d ( x n , x m ) = 0 。相反地，我们假设 { d ( x n , x m ) } 不收敛于0，选取子列 { x m i } , { x n i } ⊂ { x n } ，存在 ε 0 > 0 ， n i 是使下列式子成立的最小指标

, d ( x m i , x n i ) > 2 ε 0 (3.14)

由定理3.1条件(2)知，存在 δ > 0 ，对任意的 x , y ∈ X ，

α ( x , y ) ≥ 1 , M ( x , y ) < ε 0 + δ ⇒ d ( T x , T y ) ≤ ε 0 (3.15)

显然地，(3.15)式中用 δ ′ = min { ε 0 , δ } 来代替 δ ，(3.15)仍成立。因为 lim n → ∞ d ( x n , x n + p ) = 0 ， p = 1 , 2 , ⋯ , ν ，则存在 i 0 ∈ N ，对所有 n ≥ i 0 ，有

d ( x n , x n + p ) < δ ′ 3 ν (3.16)

对 j ∈ [ m i 0 , n i 0 ] ，由偏 ν -不等式，有

d ( x m i 0 , x j ) ≤ d ( x m i 0 , x j + 1 ) + d ( x j + 1 , x j + 2 ) + ⋯ + d ( x j + ν − 1 , x j + ν ) + d ( x j + ν , x j ) − ∑ k = 1 ν d ( x j + k , x j + k ) ≤ d ( x m i 0 , x j + 1 ) + ν × δ ′ 3 ν = d ( x m i 0 , x j + 1 ) + δ ′ 3

d ( x m i 0 , x j + 1 ) ≤ d ( x m i 0 , x j ) + d ( x j , x j + 2 ) + ⋯ + d ( x j + ν − 1 , x j + ν ) + d ( x j + ν , x j + 1 ) − d ( x j , x j ) − ∑ k = 2 ν d ( x j + k , x j + k ) ≤ d ( x m i 0 , x j ) + ν × δ ′ 3 ν = d ( x m i 0 , x j ) + δ ′ 3

即 | d ( x m i 0 , x j ) − d ( x m i 0 , x j + 1 ) | ≤ δ ′ 3 。

因为 d ( x m i 0 , x m i 0 + 1 ) < ε 0 ， d ( x m i 0 , x n i 0 ) > ε 0 + δ ′ ，即能推得存在 j 0 ∈ [ m i 0 , n i 0 ] ，有

ε 0 + 2 δ ′ 3 < d ( x m i 0 , x j 0 ) < ε 0 + δ ′ (3.17)

其中

M ( x m i 0 , x j 0 ) = max { d ( x m i 0 , x j 0 ) , d ( x m i 0 , T x m i 0 ) , d ( x j 0 , T x j 0 ) ,             d ( x m i 0 , T x m i 0 ) d ( x j 0 , T x j 0 ) 1 + d ( x m i 0 , x j 0 ) + d ( x m i 0 , T x j 0 ) + d ( T x m i 0 , x j 0 ) , d ( x m i 0 , T x m i 0 ) d ( x j 0 , T x j 0 ) 1 + d ( T x m i 0 , T x j 0 ) } = max { d ( x m i 0 , x j 0 ) , d ( x m i 0 , x m i 0 + 1 ) , d ( x j 0 , x j 0 + 1 ) ,             d ( x m i 0 , x m i 0 + 1 ) d ( x j 0 , x j 0 + 1 ) 1 + d ( x m i 0 , x j 0 ) + d ( x m i 0 , x j 0 + 1 ) + d ( x m i 0 + 1 , x j 0 ) , d ( x m i 0 , x m i 0 + 1 ) d ( x j 0 , x j 0 + 1 ) 1 + d ( x m i 0 + 1 , T x j 0 + 1 ) } = d ( x m i 0 , x j 0 ) (3.18)

利用定理3.1条件(2)，我们有 d ( x m i 0 + 1 , x j 0 + 1 ) ≤ ε 0 。然而，由(3.15)~(3.18)知

ε 0 + 2 δ ′ 3 < d ( x m i 0 , x j 0 ) ≤ d ( x m i 0 , x m i 0 + 1 ) + d ( x m i 0 + 1 , x j 0 + 1 ) + d ( x j 0 + 1 , x j 0 + 2 ) + ⋯ + d ( x j 0 + ν − 2 , x j 0 + ν − 1 )       + d ( x j 0 + ν − 1 , x j 0 ) − d ( x m i 0 + 1 , x m i 0 + 1 ) − ∑ k = 1 ν − 1 d ( x j 0 + k , x j 0 + k ) < d ( x m i 0 + 1 , x j 0 + 1 ) + ν × δ ′ 3 ν ≤ ε 0 + δ ′ 3

这与已知的矛盾。故 lim n , m → ∞ d ( x n , x m ) = 0 ，即 { x n } 是柯西列。因为 ( X , d ) 是完备的，所以存在 u ∈ X ，使得

lim n , m → ∞ d ( x n , x m ) = lim n → ∞ d ( x n , u ) = d ( u , u ) = 0

5) 假设T是连续的，下面我们证明u是T的不动点。因为T是连续的，则

lim n → ∞ d ( T x n , T u ) = lim n → ∞ d ( x n + 1 , T u ) = d ( T u , T u )

因为对于 n ≠ m ，数列 { x n } 满足 x n ≠ x m ，我们可以假设每一 x n 与 u , T u 都是不同的。考虑

d ( u , T u ) ≤ d ( u , x n + ν ) + d ( x n + ν , x n + ν − 1 ) + ⋯ + d ( x n + 2 , x n + 1 ) + d ( x n + 1 , T u ) − ∑ k = 1 ν d ( x n + k , x n + k ) ≤ d ( u , x n + ν ) + d ( x n + ν , x n + ν − 1 ) + ⋯ + d ( x n + 2 , x n + 1 ) + d ( x n + 1 , T u )

因 lim n , m → ∞ d ( x n , x m ) = 0 ，得到 d ( u , T u ) ≤ d ( T u , T u ) 。因此

d ( u , T u ) = d ( T u , T u ) (3.19)

假设u不是T的不动点，即 u ≠ T u ，则

M ( u , u ) = max { d ( u , u ) , d ( u , T u ) , d ( u , T u ) , d ( u , T u ) d ( u , T u ) 1 + d ( u , u ) + d ( u , T u ) + d ( u , T u ) , d ( u , T u ) d ( u , T u ) 1 + d ( T u , T u ) } = d ( u , T u ) > 0

因为 α 具有反身性，由(3.1)， x = u , y = u ，我们得到

d ( T u , T u ) < M ( u , u ) = d ( u , T u )

这与(3.19)是矛盾的。即u是T的不动点。

6) 最后，我们证明T的不动点是唯一的。假设 u , v 是T的两个不动点，且 u ≠ v 。则由假设 α ( u , v ) ≥ 1 。

所以由(3.1)式， x = u , y = v ，得到

d ( u , v ) = d ( T u , T v ) < M ( u , v )

其中

M ( u , v ) = max { d ( u , v ) , d ( u , T u ) , d ( v , T v ) , d ( u , T u ) d ( v , T v ) 1 + d ( u , v ) + d ( u , T v ) + d ( v , T u ) , d ( u , T u ) d ( v , T v ) 1 + d ( T u , T v ) } = d ( u , v )

即

d ( u , v ) < d ( u , v )

矛盾。因此 u = v 。

推论3.2：令 ( X , ≺ , d ) 是完备的偏 ν -度量空间。映射 T : X → X 是单调的，且满足下列条件：

1) 对任意的 x , y ∈ X ，且 x ≺ y ，若 M ( x , y ) > 0 ，则有 d ( T x , T y ) < M ( x , y ) ，其中

M ( x , y ) = max { d ( x , y ) , d ( x , T x ) , d ( y , T y ) , d ( x , T x ) d ( y , T y ) 1 + d ( x , y ) + d ( x , T y ) + d ( y , T x ) , d ( x , T x ) d ( y , T y ) 1 + d ( T x , T y ) } ;

2) 对任意的 ε > 0 ，存在 δ > 0 ，且对任意的 x , y ∈ X ，有

x ≺ y , M ( x , y ) < ε + δ ⇒ d ( T x , T y ) ≤ ε ;

3) 存在 x 0 ∈ X ，满足；

4) T是连续的。

则T存在不动点u且 { T n x 0 } 收敛于u。更进一步，若对任意的 x , y ∈ F ( T ) ，我们有，则T在X中存在唯一的不动点。

证明：定义 α : X × X → [ 0 , ∞ ) ，且

α ( x , y ) = { 1             x ≺ y 0           其 他

显然地，由定理3.1，T存在不动点。

在论文完成之际，我要特别感谢纪培胜老师的热情关怀和悉心指导，无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面，还是在论文的研究方法以及成文定稿方面，纪老师都给予了无私的帮助，在此表示真诚的感谢和深深的谢意。在论文的写作过程中，也得到了董芳远同学的宝贵建议，在此一并致以诚挚的谢意。最后，还要感谢山东省自然科学基金资助项目对本论文的支持。

山东省自然科学基金资助项目(ZR2016AM05)。

王小卉,纪培胜,董芳远. 偏v-度量空间中有关Meir-Keeler-Rational型映射的不动点理论Fixed Point Theorems for a Generalized Me-ir-Keeler-Rational Contraction in Partial v-Generalized Metric Spaces[J]. 理论数学, 2019, 09(03): 393-402. https://doi.org/10.12677/PM.2019.93052