邹山中

广东 广州

收稿日期：2019年4月26日；录用日期：2019年5月6日；发布日期：2019年5月22日

假设角谷猜想不正确，那么可将自然数分为两种数的集合，满足角谷猜想的自然数集记为集合B，不满足角谷猜想的自然数集记为集合H，通过对H中的数进行角谷运算，证明了角谷猜想是正确的。

关键词 :角谷算法，B集合，H集合

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角谷算法， f ( n ) = { n / 2               如 果   n ≡ 0 ( mod 2 ) 3 n + 1           如 果   n ≡ 1 ( mod 2 )

角谷猜想任给一自然数通过角谷算法后最后都将进入 4 → 2 → 1 → 4 的循环中。

假设角谷猜想不正确，则有：

定义1 角谷数集B，非角谷数集H。

设N是自然数集，把N分成B、H两个数集：

1) 满足角谷猜想的自然数，记为集合B

B = { b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , ⋯ , b i } , b 1 = 1 , b 2 = 2 , b 3 = 3 , b 4 = 4 , b i → ∞

2) 不满足角谷猜想的自然数称为非角谷数集，记为集合H

H = { h 1 , h 2 , h 3 , h 4 , ⋯ , h i }

显然有 B ∪ H = N ， B ∩ H = ∅ ，且 h 1 是奇数 [1] ，由于 h 1 是H集合中最小自然数，所以凡是小于 h 1 的自然数都在集合B中。

在集合 H = { h 1 , h 2 , h 3 , h 4 , ⋯ , h i } 中，因为 h 1 是H中最小的自然数，且 h 1 是奇数。所以有：

引理一： h 1 = 2 p + 1 ， p = 2 n + 1 ，即： h 1 = 2 ( 2 n + 1 ) + 1 = 4 n + 3 ，并且 不能被4整除。

证：如果 p = 2 n ，即 h 1 = 4 n + 1 ，根据角谷算法， 3 × ( 4 n + 1 ) + 1 = 12 n + 4 ， ( 12 n + 4 ) / 2 = 6 n + 2 ， ( 6 n + 2 ) / 2 = 3 n + 1 ，而 3 n + 1 < 4 n + 1 = h 1 ， ∴ 3 n + 1 ∈ B ， ∵ 3 h 1 + 1 = 3 ( 4 n + 3 ) + 1 = 12 n + 10 ，而 ( 12 n + 10 ) / 4 = 3 n + 5 / 2 ， ∴ 3 h 1 + 1 不能被4整除。#

为了直观地看到H集合中 h i 在角谷运算过程中的变化情况，我们建立直角坐标系如下：

图1. 直线 X = 3 Y + 1 与直线 Y = h i 相交

在图1中， Y = h i 直线与 X = 3 Y + 1 直线相交于D [1] ，过D点作垂线与X轴交于E，可得到直角三角形D0E，设角D0E为Q，有 tan Q = Y 3 Y + 1 ，设 D E = Y = h 1 则有 0 E = X 1 = 3 h 1 + 1 ， X i 与 h i 是一一对应的，当 D E = h 1 时， tan Q = h 1 3 h 1 + 1 ，因为 3 h 1 + 1 是偶数，依照角谷运算法有， h 2 = X 1 2 n 1 = 3 h 1 + 1 2 n 1 ， n 1 ≥ 1 ， h 2 ∈ H ， n 1 的取值取决于 3 h 1 + 1 2 n 1 是否是奇数，当 3 h 1 + 1 2 n 1 是奇数时 n 1 是最大值，设： y = 3 h 1 + 1 2 n 1 = h 2 ，因为 tan Q = h 1 3 h 1 + 1 = h 2 X 2 即： X 2 = h 2 ( 3 h 1 + 1 ) h 1 ，所以 X 2 = ( 3 h 1 + 1 ) 2 2 n 1 h 1 ，依照角谷算法有 h 3 = X 2 2 n 2 = ( 3 h 1 + 1 ) 2 h 1 2 n 1 2 n 2 ，此时 Y = h 3 ， tan Q = h 1 3 h 1 + 1 = h 3 X 3 即： X 3 = h 3 ( 3 h 1 + 1 ) h 1 = ( 3 h 1 + 1 ) ( 3 h 1 + 1 ) 2 h 1 2 2 n 1 2 n 2 。

依照角谷算法有 h 4 = X 3 2 n 3 = ( 3 h 1 + 1 ) 3 h 1 2 2 n 1 2 n 2 2 n 3 ……以此类推有：

h i + 1 = ( 3 h 1 + 1 ) i h 1 i − 1 2 n 1 + n 2 + ⋯ + n i , ( n 1 + n 2 + ⋯ + n i ) ≥ i , (1)

当 n 1 = n 2 = ⋯ = n i = 1 时， ( n 1 + n 2 + ⋯ + n i ) = i ，设 ( n 1 + n 2 + ⋯ + n i ) = β , β ≥ i 。

这样(1)式可写成： h i + 1 = h 1 ( 3 h 1 + 1 h 1 2 β / i ) i ，因为 h i + 1 是整数，所以 3 h 1 + 1 h 1 2 β / i 必须是整数，而 3 h 1 + 1 h 1 不是整数，所以 3 h 1 + 1 2 β / i 必须是整数，根据引理一，4不能整除 ( 3 h 1 + 1 ) ，所以 2 β / i 只能等于2，即： β / i = 1 ， β = i ，所以 ( n 1 + n 2 + ⋯ + n i ) = i ，即有： n i = 1 ，所以 h i = 4 n + 3 ，所以 p i = 2 n j + 1 ，所以 h 1 = 2 p 1 + 1 = 2 ( 2 ( 2 ⋯ ( 2 n j + 1 ) ⋯ + 1 ) + 1 ) + 1 ， j = 1 , 2 , 3 , ⋯ ， j → ∞ 。

证：如果j不是无穷大，则在H集合中必须出现循环，而(1)出现循环的必要条件是： h 1 ( 3 h 1 + 1 h 1 2 β / i ) i = h 1 ，即有 ( 3 h 1 + 1 h 1 2 β / i ) i = 1 ，即 3 h 1 + 1 = h 1 2 β / i ，显然 3 h 1 + 1 ≠ 2 h 1 ，所以等式(1)不可能产生从 h 1 开始的循环，因为 n i = 1 ，所以在H集合中任取一 h i 来讨论都会得到同样的结果。所以 j → ∞ 。#

因为 j → ∞ ，所以我们永远无法找到一个 h 1 [2] ，满足 h 1 在H集合中作角谷运算，所以非角谷数的集合是不存在的，即 H = ∅ ，故角谷猜想是正确的。证明完！

邹山中. 证明角谷猜想是正确的Proof of Collatz Conjecture[J]. 理论数学, 2019, 09(03): 414-416. https://doi.org/10.12677/PM.2019.93055