曾献清，魏朝颖^*，郭洁

西安石油大学理学院，陕西 西安

收稿日期：2019年4月29日；录用日期：2019年5月9日；发布日期：2019年5月24日

Hochstadt-Lieberman唯一性定理表明，对于定义在[0, 1]区间上的Sturm-Liouville问题，若[0, 1/2]区间上的势函数已知，则一组Dirichlet-Dirichlet特征值即可唯一确定整个区间上的势函数。本文应用亚纯函数的Mittag-Leffler展开定理，给出了重构该问题势函数的一种新方法，同时给出了该问题的解存在的充要条件。

关键词 :特征值，Mittag-Leffler展开定理，Levin-Lyubarski插值，重构问题

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1978年，Hochstadt与Lieberman [1] 证明了如下著名的Hochstadt-Lieberman唯一性定理：

定理1.1 对于定义在[0, 1]区间上的Sturm-Liouville算子 L DD ：

L u = − u ″ + q u (1)

满足Dirichlet-Dirichlet (DD)边值条件：

u ( 0 ) = 0 = u ( 1 ) , (2)

其中 q ∈ L 2 [ 0 , 1 ] 为实值函数，若q在子区间 [ 0 , 1 / 2 ] 上已知，则一组Dirichlet-Dirichlet特征值 σ DD = { λ n ,D 2 } n = 1 ∞ 唯一确定 [ 0 , 1 ] 区间上的势函数q。

Martinyuk及Pivoarchik [2] 曾对以上唯一性定理给出了重构势函数的方法。本文的目的是对Hochstadt-Lieberman唯一性定理提供一种新的重构势函数的方法。通过应用Mittag-Leffler展开定理，将“较大的”全纯函数分解为两个“较小的”全纯函数，此分解为我们更好地使用Levin-Lyubarski插值公式重构全纯函数 u − ( 1 / 2 , λ ) 及 u ′ − ( 1 / 2 , λ ) 提供了环境。此外，该重构方法亦给出了该问题的解存在且唯一的充要条件。

本文将用 L a 表示定义在 L 2 ( − ∞ , ∞ ) 上的型为a的指数类全纯函数 [3] 。

设 u − ( x , λ ) 为方程(1)满足初始条件 u − ( 0 ) = 0 及 u ′ − ( 0 ) = 1 的解。由文 [4] 可得：

u − ( x , λ ) = sin λ x λ + ∫ 0 x K ( x , t ) sin λ t λ d t = sin λ x λ − K ( x , x ) cos λ x λ 2 + ∫ 0 x K t ( x , t ) cos λ x λ 2 d t , (3)

其中

K ( x , t ) = K ˜ ( x , t ) − K ˜ ( x , − t ) , K t ( x , t ) = ∂ K ( x , t ) ∂ t ,

K ˜ ( x , t ) 满足以下积分方程：

K ˜ ( x , t ) = 1 2 ∫ 0 x + t 2 q ( s ) ds + ∫ 0 x + t 2 d α ∫ 0 x − t 2 q ( α + β ) K ˜ ( α + β , α − β ) d β ,

且对于两个变量分别存在一阶偏导数。此外，

K ( x , x ) = 1 2 ∫ 0 x q ( t ) d t , K ( x , 0 ) = 0 . (4)

由(3)可得

u − ( 1 2 , λ ) = 1 λ sin ( λ 2 ) − K − λ 2 cos ( λ 2 ) + ψ − , 0 ( λ ) λ 2 ; u ′ − ( 1 2 , λ ) = cos + K − λ sin ( λ 2 ) + ψ − , 1 ( λ ) λ 2 (5)

其中 K − = K ( 1 / 2 , 1 / 2 ) ，且对于 j = 0 , 1 ， ψ − , j ∈ L 1 / 2 。

定义 u + ( x , λ ) 为方程(1)满足初始条件 u + ( 1 , λ ) = 0 ， u ′ + ( 1 , λ ) = 1 的解。则 u + ( x , λ ) 具有类似于(3)的表达式：

u + ( x , λ ) = − sin λ ( 1 − x ) λ − ∫ x 1 K ( x , t ) sin λ ( 1 − t ) λ d t . (6)

故 u + ( 1 / 2 , λ ) ， u ′ + ( 1 / 2 , λ ) 有如下渐近式：

u + ( 1 2 , λ ) = − 1 λ sin ( λ 2 ) − K + λ 2 cos ( λ 2 ) + ψ + , 0 ( λ ) λ 2 u ′ + ( 1 2 , λ ) = cos ( λ 2 ) + K + λ sin ( λ 2 ) + ψ + , 1 ( λ ) λ 2 (7)

其中 K + = ∫ 1 / 2 1 q ( t ) d t ，且对于 j = 0 , 1 ， ψ + , j ∈ L 1 / 2 。

由于(1)~(2)的DD特征值 { λ n } n ∈ ℤ 0 为特征值方程

Δ ( λ ) = u − ( 1 , λ ) (8)

的零点。由(3)可得，特征值函数的渐近式为：

Δ ( λ ) = 1 λ sin λ − K − + K + λ 2 cos λ + ψ ^ ( λ ) λ 2 , (9)

其中 ψ ^ ∈ L 1 。则当 n → ∞ 时，DD特征值 { λ n } n ∈ Z 0 的渐近式为：

λ n = n π + K − + K + n π + α n n (10)

其中 { α n } n ∈ Z 0 ∈ l 2 。

引理2.1 [5] [Theorem 3,6,2] 设 F ( z ) 为亚纯函数，且当时，其单重极点满足。记为在处的留数。若

则存在全纯函数使得

其中，(12)式右侧的级数在上任何不包含点的有界子集上是一致收敛的。

引理2.2 [6] [Theorem A]设f为sine类函数，其振幅宽度为2a，且其零点为。则对于，映射

为与的同构映射，且在的任何子域上一致收敛。

下面给出在上重构q的方法及解存在的充要条件。定义为方程(1)满足初始条件，的解。类似可得

其中，对于，。记为的零点，则

其中。显然为亚纯函数且具有单重极点。设为函数在处的留数，则有

其中。由(5)，(8)及(10)可得

其中，结合(15)，可得。由引理2.1，可知存在全纯函数，满足

定义

则可得

显然时，，为全纯函数。

引理2.3 若记与为

则，，且及在展开式(20)中为唯一的。

证明 注意到为的零点，则由(20)可得

将(15)带入计算，可得

,

,

,

其中，，均属于。进而将(23)带入(22)得到

由于函数为sine类函数，且存在正整数及p使得当时，

则结合(24)，应用Levin-Lyubarski插值定理，即引理2.2，选取为重构函数的插值节点，若记，则有：

其中，。

此外，Levin-Lyubarki插值定理保证了所重构函数的唯一性。故定理得证。

引理2.4 设与由(21)式定义。若

则

进而有

证明 由于

计算易得(27)成立。由于

且，式(30)结合(27)，可知存在满足

由(5)及(7)可知，当时，有

,

故，从而可得(28)。定理得证。

注1 由引理2.3可知是唯一的. 由引理2.4可得的表达式，进而可得与，故有如下结论：

定理2.5 设函数，数列已知，且满足如下渐近式：

其中A，，。若

其中，分别由(21)与(26)定义，且，由(5)定义。

则存在唯一的实值函数，使得势函数q在上满足，在上，，且其对应的算子以为特征值的充要条件是属于Nevanlinna类函数。

证明 必要性：假定存在实值函数，使得为Sturm-Liouville算子的DD特征值。则由以上讨论可知，

,.

故由 [2] [7] 知，是Sturm-Liouville问题(1)~(2)的Weylm-函数 [7] ，故属于Nevanlinna类函数。

充分性：若实值函数已知，则函数、及，为已知函数。则由(5)、(14)及引理2.3得，及可知，又由于DD特征值已知，进而由(26)可得，从而由(28)计算可得及：

,

,

其中，故可知。定理得证。

国家自然科学基金面上项目资助(11571212)；陕西省大学生创新训练项目资助(1314)。

曾献清,魏朝颖,郭 洁. Hochstadt-Lieberman定理的重构问题 The Reconstructing Problem for Hochstadt-Lieberman Theorem[J]. 理论数学, 2019, 09(03): 458-464. https://doi.org/10.12677/PM.2019.93061