二维射影线性群区传递作用下的5-(q + 1, 6, λ)设计<sup> </sup>

Pure Mathematics

2160-7583

Scientific Research Publishing

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数学与物理

二维射影线性群区传递作用下的5-(q + 1, 6, λ)设计 Two-Dimension Projective Linear Groups Act Block-Transitively on 5-(q + 1, 6, λ) Designs

魏

乐乐

¹²李

杰

³¹

青岛大学计算机科学技术学院，山东青岛

null

青岛大学数学与统计学院，山东青岛

02082019

0906694698

2014

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设D = (X, B)是一个5-(q + 1, 6, λ)设计。若G ≤ Aut(D)且区传递作用在D上，利用二维射影线性群在射影直线上作用的轨道证明了：1) 若G = PGL(2, q)，则D为同构意义下唯一的5-(12, 6, 2)设计；2) 若G = PSL(2, q)，则D有两个不同构的5-(12, 6, 1)设计。 Let D = (X, B) be a 5-(q + 1, 6, λ) design. Let G ≤ Aut(D) act block-transitively on D. By using the orbits of two-dimension projective linear groups on the projective lines, the results show that: 1) if G = PGL(2, q), then D is a unique 5-(12, 6, 2) design; 2) if G = PSL(2, q), then D has two nonisomorphic 5-(12, 6, 1) designs.

单纯t-设计，射影特殊线性群，射影一般线性群，自同构群，区传递, Simple t-Designs Projective General Linear Group Projective Special Linear Group Automorphism Group Block-Transitively

二维射影线性群区传递作用下的5-(q + 1, 6, λ)设计<sup> </sup>

魏乐乐^1*，李杰²

¹青岛大学数学与统计学院，山东青岛

²青岛大学计算机科学技术学院，山东青岛

收稿日期：2019年7月11日；录用日期：2019年7月21日；发布日期：2019年8月7日

摘要

设D = (X, B)是一个5-(q + 1, 6, λ)设计。若G ≤ Aut(D)且区传递作用在D上，利用二维射影线性群在射影直线上作用的轨道证明了：1) 若G = PGL(2, q)，则D为同构意义下唯一的5-(12, 6, 2)设计；2) 若G = PSL(2, q)，则D有两个不同构的5-(12, 6, 1)设计。

关键词 :单纯t-设计，射影特殊线性群，射影一般线性群，自同构群，区传递

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1. 引言1.1. 研究背景

t-设计是一类非常重要的组合设计。与 t = 2 的情形即BIB设计的情形相比，目前对 t ≥ 3 时的t-设计理论的研究远非完善。设 q = p n ，其中p为素数。对于以射影线性群为自同构群的t-设计的存在性及构造问题，文献 [1] 完整解决了以 P S L ( 2 , q ) 为自同构群，区组长度为k的3-设计的存在性问题，这里 k ≡ 0 , 1 ( mod p ) 。文献 [2] - [8] 找到了一些 t ≥ 4 的t-设计存在的例子。文献 [6] [7] [8] 完整确定了二维射影线性群区传递作用下的 4 - ( q + 1 , 5 , λ ) 与 4 - ( q + 1 , 6 , λ ) 及 5 - ( q + 1 , 7 , λ ) 设计的参数，并构造了相应参数的设计。

参数为 t - ( v , k , λ ) 的一个设计，简称t-设计，定义为符合以下条件的一对符号 ( X , B ) ：

(i) X是一个v-集合；

(ii) B 是X的一组k-子集；

(iii) X的任意给定的t-子集都恰好含于 B 的 λ 个成员之中。

X的元素称为点， B 的成员称为区组。设 D = ( X , B ) 为一个 t - ( v , k , λ ) 设计。若 B 中不包含重复区组，则称 D 为单纯的设计。若X的每个k-子集都在 B 中出现相同的次数，则称 D 为平凡的t-设计。当 v ≤ k + t 时，任一 t - ( v , k , λ ) 设计都是平凡的。本文中我们只考虑非平凡的单纯t-设计。

令 G ≤ s y m ( X ) ，对任意的 g ∈ G ， S ⊆ X ，定义 S g = { x g : x ∈ S } 。 S G = { S g : g ∈ G } 称为S的轨道， G S = { g ∈ G : S g = S } 称为S的稳定子群，且 | G | = | S G | | G S | 。 ( X , B ) 的一个自同构是指具有下述性质的X的置换g：如果 B ∈ B ，则 B g ∈ B 。由 ( X , B ) 的自同构组成 s y m ( X ) 的子群，称为 ( X , B ) 的自同构群。对任意的 B , B ′ ∈ B ，若存在 g ∈ G 使得 B g = B ′ ，则称G区传递作用于 D 上。

令q为素数幂， X = G F ( q ) ∪ { ∞ } 为射影直线。对任意的 a , b , c , d ∈ G F ( q ) ，定义函数

f : X → X

其中

x f = a x + b c x + d .

定义 a / 0 = ∞ ， a / ∞ = 0 ， ∞ + a = a + ∞ = ∞ ， ( a ∞ + b ) / ( c ∞ + d ) = a / c 。f称为线性分式，f的行列式为 det f = a d − b c 。所有行列式为非零平方元的线性分式的集合构成线性分式群 L F ( 2 , q ) ，它同构于 P S L ( 2 , q ) 。所有行列式非零的线性分式的集合也构成群，同构于 P G L ( 2 , q ) 。

设 D = ( X , B ) 是一个 5 - ( q + 1 , 6 , λ ) 设计， G ≤ A u t ( D ) 区传递作用于 D 上。令 G F ( q ) 表示q元有限域， X = G F ( q ) ∪ { ∞ } 为射影直线。本文证明了若 G = P S L ( 2 , q ) ，则 D 有两个不同构的 5 - ( 12 , 6 , 1 ) 设计。并且用一个新的方法证明了文献 [3] 中的一个结论：若 G = P G L ( 2 , q ) ，则存在唯一的 5 - ( 12 , 6 , 2 ) 设计。

1.2. 预备知识

引理1 [9] ：设 t ≥ 2 ， D = ( X , B ) 为一个 t - ( v , k , λ ) 设计。再设 1 ≤ i ≤ t ，则 D 也是一个 i - ( v , k , λ i ) 设计，此处

λ i = λ ( v − i t − i ) / ( k − i t − i ) .

引理2 [9] ：一个 t - ( v , k , λ ) 设计的区组个数

b = λ ( v t ) / ( k t ) .

引理3 [6] ：设 D = ( X , B ) 为一个 4 - ( 12 , 6 , λ ) 设计， X = G F ( 11 ) ∪ { ∞ } ，如果 G = P G L ( 2 , 11 ) 区传递作用于 D 上，则存在唯一的 4 - ( 12 , 6 , 8 ) 设计。

引理4 [6] ：设 D = ( X , B ) 为一个 4 - ( 12 , 6 , λ ) 设计， X = G F ( 11 ) ∪ { ∞ } ，如果 G = P S L ( 2 , 11 ) 区传递作用于 D 上，则 D 是一个 4 - ( 12 , 6 , 4 ) 设计。

引理5 [10] ：设 g ∈ P S L ( 2 , q ) ，g的阶为d且 d > 1 ，则g有a个不动点和 b = ( q + 1 − a ) / d 个d圈。当 q ≡ 3 ( mod 4 ) 时， P S L ( 2 , q ) 的置换特征如表1所示。

Table 1 The permutation character of P S L ( 2 , q ) where q ≡ 3 ( mod 4

g的阶	g的中心化子的阶	共轭类的个数	不动点个数
1	q 3 − q 2	1	q + 1
p	q	2	1
2	q + 1	1	0
d \| q − 1 2	q − 1 2	ϕ ( d ) 2	2
d \| q + 1 2 , d ≠ 2	q + 1 2	ϕ ( d ) 2	0

表1. q ≡ 3 ( mod 4 ) 时 P S L ( 2 , q ) 的置换特征

2. 定理的证明

引理6：设 D = ( X , B ) 为一个 5 - ( q + 1 , 6 , λ ) 设计， X = G F ( q ) ∪ { ∞ } 。若 G = P G L ( 2 , q ) 区传递作用于 D 上，则 λ | G B | ( q − 2 ) ( q − 3 ) = 720 。可能出现的情形： q = 11 ， λ = 2 。

证明：由于 D = ( X , B ) 为G区传递作用下的 5 - ( q + 1 , 6 , λ ) 设计，可设 B = B G ，则 b = | B G | = | G | / | G B | 。由引理2知

b = λ ( q + 1 5 ) / ( 6 5 ) = ( q + 1 ) q ( q − 1 ) | G B | .

故 λ | G B | ( q − 2 ) ( q − 3 ) = 720 。由于q为素数幂且 v > k + t ，可得 q = 11 。

当 q = 11 时， λ | G B | = 10 。由于 λ 为正整数，故 λ ∈ { 1 , 2 , 5 , 10 } 。由引理1知，若 D 为一个 5 - ( 12 , 6 , 1 ) 设计，则 D 也为一个 4 - ( 12 , 6 , 4 ) 设计；若 D 为一个 5 - ( 12 , 6 , 2 ) 设计，则 D 也为一个 4 - ( 12 , 6 , 8 ) ；若 D 为一个 5 - ( 12 , 6 , 5 ) 设计，则 D 也为一个 4 - ( 12 , 6 , 2 0 ) 设计；若 D 为一个 5 - ( 12 , 6 , 10 ) 设计，则 D 也为一个 4 - ( 12 , 6 , 40 ) 设计。再由引理3知 λ 的值可能为2。

下用一个新的方法证明文献 [3] 中的一个结论。

定理1：设 D = ( X , B ) 为一个 5 - ( q + 1 , 6 , λ ) 设计， X = G F ( q ) ∪ { ∞ } 。如果 G = P G L ( 2 , q ) 区传递作用于 D 上，则存在唯一的 5 - ( 12 , 6 , 2 ) 设计。

证明：设 B = B G 。由引理6知若 λ = 2 ，则 | G B | = 5 。令 G B = 〈 f 〉 。由于B为X的6-子集，故B中包含f的一个5-圈和一个不动点。由于G在X上的作用是精确3重传递的，可设 B = { ∞ , 0 , 1 , α , β , γ } ，其中

( ∞ 0 1 α β ) 为f的一个5-圈， γ 为f的一个不动点。设 x f = a x + b c x + d ，其中 a , b , c , d ∈ G F ( 11 ) 。由 ∞ f = 0 及 0 f = 1 知 a = 0 且 b = d ，从而 x f = b c x + b 。由于 b ≠ 0 ，故存在 e ∈ G F ( 11 ) 使得 x f = 1 e x + 1 。由 1 f = α 得 x f = α ( 1 − α ) x + α 。又 α f = β 及 β f = ∞ ，从而 α ( 2 − α ) − α 2 + α + 1 = ∞ ，即 − α 2 + α + 1 = 0 。将方程 − α 2 + α + 1 = 0 在 G F ( 11 ) 中求解，得 α = 4 或 α = 8 。当 α = 4 时， x f = 1 2 x + 1 ， β = 5 ， γ = 6 或 γ = 10 。当 α = 8 时， x f = 2 x + 2 ， β = 9 ， γ = 4 或 γ = 5 。综上述B可能为如下四种情形： { ∞ , 0 , 1 , 4 , 5 , 6 } ， { ∞ , 0 , 1 , 4 , 5 , 10 } ，

{ ∞ , 0 , 1 , 8 , 9 , 4 } ， { ∞ , 0 , 1 , 8 , 9 , 5 } 。

取 B = { ∞ , 0 , 1 , 4 , 5 , 6 } ，调用程序得到初始区组B在G作用下的轨道 B G ，发现上述四个区组在同一条轨道中，且 | G B | = 5 。故只需验证 ( X , B G ) 是否可以构成一个 5 - ( 12 , 6 , 2 ) 设计。调用程序知X的任意给定的5-子集都恰好含于 B G 的两个成员之中。故 ( X , B G ) 为同构意义下满足条件的唯一的 5 - ( 12 , 6 , 2 ) 设计。

引理7：设 D = ( X , B ) 为一个 5 - ( q + 1 , 6 , λ ) 设计， X = G F ( q ) ∪ { ∞ } 。若 G = P S L ( 2 , q ) 区传递作用于 D 上，则 λ | G B | ( q − 2 ) ( q − 3 ) = 360 。可能出现的情形： q = 11 ， λ = 1 。

证明：由于 D = ( X , B ) 为一个G区传递作用下的 5 - ( q + 1 , 6 , λ ) 设计，设 B = B G ，则 b = | B G | = | G | / | G B | 。由引理2知

b = λ ( q + 1 5 ) / ( 6 5 ) = ( q + 1 ) q ( q − 1 ) ( 2, q − 1 ) | G B | .

故 λ | G B | ( q − 2 ) ( q − 3 ) ( 2 , q − 1 ) = 720 。由于q为素数幂且 v > k + t ，可得 q = 11 。即 λ | G B | ( q − 2 ) ( q − 3 ) = 360 。

当 q = 11 时， λ | G B | = 5 。由于 λ 为正整数，故 λ ∈ { 1 , 5 } 。由引理1知，若 D 为一个 5 - ( 12 , 6 , 1 ) 设计，则 D 也为一个 4 - ( 12 , 6 , 4 ) 设计；若 D 为一个 5 - ( 12 , 6 , 5 ) 设计，则 D 也为一个 4 - ( 12 , 6 , 2 0 ) 设计。再由引理4知 λ 的值可能为1。

引理8： G = P S L ( 2 , 11 ) 作用在X的6-子集上的轨道及轨道长度分别为：

O 1 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } G , | O 1 | = | G | / 2 ; O 2 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 } G , | O 2 | = | G | / 5 ;

O 3 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 9 } G , | O 3 | = | G | / 5 ; O 4 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } G , | O 4 | = | G | / 6 ;

O 5 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 7 } G , | O 5 | = | G | / 6 ; O 6 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 9 } G , | O 6 | = | G | / 6 .

证明：由Cauchy-Frobenius引理知G作用在X的6-子集上的轨道条数为: t = 1 | G | ∑ g ∈ G χ 6 ( g ) 。由引理

5知 q = 11 时只有 1 , 2 , 3 , 5 , 6 阶元可以固定6-子集，故

t = 1 | G | [ ( q + 1 6 ) + | G | q + 1 ( q + 1 2 3 ) + 2 | G | q + 1 ( q + 1 3 2 ) + 8 | G | 5 + | G | 3 ] = 6 .

调用程序得到G作用在X的6-子集上的轨道及轨道长度。

定理2：设 D = ( X , B ) 为一个 5 - ( q + 1 , 6 , λ ) 设计， X = G F ( q ) ∪ { ∞ } 。如果 G = P S L ( 2 , q ) 区传递作用于 D 上， D 为两个不同构的 5 - ( 12 , 6 , 1 ) 设计。

证明：设 B = S G 。由引理7知若 λ = 1 ，则 | G S | = 5 。再由引理8，故只需验证 ( X , O 2 ) 与 ( X , O 3 ) 是否可以构成 5 - ( 12 , 6 , 1 ) 设计。调用程序知X的任意给定的5-子集都恰好含于 O i 的一个成员之中，其中 i = 2 , 3 。即 ( X , B G ) 为满足条件的两个不同构的 5 - ( 12 , 6 , 1 ) 设计。

文章引用

魏乐乐,李杰. 二维射影线性群区传递作用下的5-(q + 1, 6, λ)设计Two-Dimension Projective Linear Groups Act Block-Transitively on 5-(q + 1, 6, λ) Designs[J]. 理论数学, 2019, 09(06): 694-698. https://doi.org/10.12677/PM.2019.96092

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