IBM模型对偶–偶核100Zr的理论研究

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Applied Physics

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数学与物理

IBM模型对偶–偶核 ¹⁰⁰Zr的理论研究 Study of Even-Even Nuclei ¹⁰⁰Zr by Interacting Boson Model

董

鸿飞

²¹王

印

²¹李

晓伟

²¹吕

立君

²¹魏

天枝

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赤峰学院，内蒙古赤峰

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2014

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

本文在相互作用玻色子模型框架下对偶–偶核 ¹⁰⁰Zr进行了理论研究。绘制了基态带的E-GOS曲线，讨论其动力学对称性极限性质，数据分析表明 ¹⁰⁰Zr是具有U(5)振动极限到SU(3)转动极限之间的过渡核，趋近于O(6)极限。同时文中也拟合了 ¹⁰⁰Zr核的低能谱的谱带，并对波函数结构进行了理论研究，计算了 ¹⁰⁰Zr核的低能谱部分的电磁跃迁，计算结果表明理论计算与实验值符合较好。 Even-even nuclei ¹⁰⁰Zr were studied within the framework of the interacting boson model. The E-Gamma Over Spin (E-GOS) was drawn, and the analysis of the dynamic symmetry limit found that ¹⁰⁰Zr is a transition nuclei from U(5) vibrational limit to SU(3) rotational limit , close to O(6) dynamic symmetry limit. At the same time, the energy spectrum of low-lying states of ¹⁰⁰Zr was fitted, the components of the wave function were analyzed, and the B(E2) values of transitions between low-lying states of ¹⁰⁰Zr were analyzed respectively. The results show good agreement with the available experimental data.

偶–偶核，相互作用玻色子模型，能谱，E-GOS曲线，电磁跃迁, Even-Even Nuclei Interacting Boson Model Energy Level E-GOS Curve Electromagnetic Transitions

IBM模型对偶–偶核100Zr的理论研究

董鸿飞，王印，李晓伟，吕立君，魏天枝

赤峰学院，内蒙古赤峰

收稿日期：2019年10月9日；录用日期：2019年10月21日；发布日期：2019年10月28日

摘要

关键词 :偶–偶核，相互作用玻色子模型，能谱，E-GOS曲线，电磁跃迁

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY).

http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

采用唯象的理论模型是原子核结构研究的重要手段。相互作用玻色子模型(interacting boson model，简称为IBM)就是一个十分成功的研究原子核集体运动的代数模型，利用该模型，人们成功地描述了原子核低激发能谱、电磁跃迁以及相变等性质 [1]。在IBM中，假设原子核有一个稳定的双幻核芯，价核子配对成角动量是0或2的核子对，这些核子都被看作是玻色子。角动量L为0的s玻色子和L为2的d玻色子共有六种，这六种玻色子算符构成了IBM模型的哈密顿量，即能谱的生成代数是U(6)。从U(6)开始约化，有U(5)、SU(3)和O(6)三种约化方式。约化的三个子群链为：

U ( 6 ) ⊃ U ( 5 ) ⊃ O ( 5 ) ⊃ O ( 3 ) ⊃ O ( 2 ) U ( 6 ) ⊃ SU ( 5 ) ⊃ O ( 3 ) ⊃ O ( 2 ) U ( 6 ) ⊃ O ( 6 ) ⊃ O ( 5 ) ⊃ O ( 3 ) ⊃ O ( 2 ) (1)

这三个子群链分别对应于不同类型的动力学对称性，用来描述原子核的三种集体运动极限：振动、转动和γ-不稳定特性 [2] - [7]。

三个极限的晕态能谱和能级衰变能分别为：

E I = I 2 ℏ ω ， E γ ( I → I − 2 ) = ℏ ω ，

E I = ℏ 2 2 J I ( I + 1 ) ， E γ ( I → I − 2 ) = ℏ 2 2 J ( 4 I − 2 ) ，

E I = I ( I + 6 ) 16 E ( 2 + ) ， E γ ( I → I − 2 ) = E ( 2 + ) 4 ( I + 2 ) 。

令 [8]，做I-R曲线既为E-GOS曲线。

将基向量表示为 | Ψ 〉 = | n d , n β , n Δ , L d , L 〉 ，哈密顿量可写成多极展开形式为：

H = EPS n d + 1 2 ELL ( L ⇀ ⋅ L ⇀ ) + 1 2 QQ ( Q ⇀ ⋅ Q ⇀ ) − 5 7 OCT [ ( d † d ˜ ) ( 3 ) × ( d † d ˜ ) ( 3 ) ] 0 ( 0 ) + 15 HEX [ ( d † d ˜ ) ( 4 ) × ( d † d ˜ ) ( 4 ) ] 0 ( 0 ) (2)

其中：

L ⇀ ⋅ L ⇀ = − 10 3 [ ( d † d ˜ ) ( 1 ) × ( d † d ˜ ) ( 1 ) ] 0 (0)

Q ⇀ ⋅ Q ⇀ = 5 [ { ( s † d ˜ + d † s ) ( 2 ) + CHQ 5 ( d † d ˜ ) ( 2 ) } × { ( s † d ˜ + d † s ) ( 2 ) + CHQ 5 ( d † d ˜ ) ( 2 ) } ] 0 (0)

式中的EPS、ELL、QQ、OCT、HEX、CHQ为模型的可调参数 [9]。本文工作是在合理的范围内调节参数值，使计算结果符合实验数据。

2. 计算结果

本文研究的是¹⁰⁰Zr，它有10个价质子(空穴)和10个价中子，共组成10个玻色子。

2.1. 各级限值和E-GOS曲线

根据其实验能谱可以计算出R值并做E-GOS曲线，R值见表1。相应的E-GOS曲线见图1。本文选取了实验数据 20 1 + 以下的角动量为偶数的能级。

Table 1 Experimental data and the dynamic symmetry limit of 100Z

I	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
实验	106.25	88.00	82.85	78.20	73.92	70.14	66.90	64.52	63.01	62.19
U(5)	106.25	53.13	35.42	26.56	21.25	17.71	15.18	13.28	11.81	10.63
SU(3)	106.25	123.96	129.86	132.81	134.58	135.76	136.61	136.98	137.24	138.13
O(6)	106.25	79.69	70.83	66.41	63.75	61.98	60.71	59.77	59.03	58.44

表1. ¹⁰⁰Zr核的实验及各动力学极限值

图1. ¹⁰⁰Zr核的E-GOS曲线

2.2. 模型参数

通过拟合实验的能级，确定了模型的参数，见表2。

Table 2 Hamiltonian matrix of 100Z

EPS	ELL	QQ	OCT	HEX	CHQ
−0.3201	0.0237	−0.00116	0.0365	0.0252	−2.9580

表2. ¹⁰⁰Zr的哈密顿参数

2.3. 能谱结果

在选定的参数下，理论计算的能级与实验能级的对比图见图2。可见所选参数较好地拟合了低激发态能谱，其中Band 1和Band 2的符合程度均很好，只是在较合理的范围内存在一定的误差。

图2. ¹⁰⁰Zr的实验能谱与理论能谱

2.4. 波函数

确定了模型参数，我们就可以给出每条能级具体的波函数，本文主要用到的波函数的结构为：

| 0 1 + 〉 ≈ 0.5248 | s 10 d 0 〉 + 0.4457 | s 8 d 2 〉 + 0.0292 | s 6 d 4 〉 + 0.0003 | s 4 d 6 〉

| Ψ 0 1 〉 ≈ 0.724 | 0 , 0 , 0 , 0 , 0 + 〉 + 0.668 | 2 , 1 , 0 , 0 , 0 + 〉 + 0.171 | 4 , 2 , 0 , 0 , 0 + 〉 + 0.018 | 6 , 3 , 0 , 0 , 0 + 〉 + 0.001 | 8 , 4 , 0 , 0 , 0 + 〉

| 0 2 + 〉 ≈ 0.4704 | s 10 d 0 〉 + 0.4528 | s 8 d 2 〉 + 0.0756 | s 6 d 4 〉 + 0.0012 | s 4 d 6 〉

| Ψ 0 2 〉 ≈ 0.686 | 0 , 0 , 0 , 0 , 0 + 〉 − 0.673 | 2 , 1 , 0 , 0 , 0 + 〉 − 0.275 | 4 , 2 , 0 , 0 , 0 + 〉 − 0.035 | 6 , 3 , 0 , 0 , 0 + 〉 − 0.002 | 8 , 4 , 0 , 0 , 0 + 〉

| 0 3 + 〉 ≈ 0.8624 | s 6 d 4 〉 + 0.1010 | s 8 d 2 〉 + 0.0317 | s 4 d 6 〉 + 0.0048 | s 10 d 0 〉

| Ψ 0 3 〉 ≈ − 0.069 | 0 , 0 , 0 , 0 , 0 + 〉 + 0.318 | 2 , 1 , 0 , 0 , 0 + 〉 − 0.929 | 4 , 2 , 0 , 0 , 0 + 〉 − 0.178 | 6 , 3 , 0 , 0 , 0 + 〉 − 0.011 | 8 , 4 , 0 , 0 , 0 + 〉

| 2 1 + 〉 ≈ 0.8335 | s 9 d 1 〉 + 0.1519 | s 7 d 3 〉 + 0.0105 | s 8 d 2 〉 + 0.0002 | s 6 d 4 〉

| Ψ 2 1 〉 ≈ 0.913 | 1 , 0 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.103 | 2 , 0 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.390 | 3 , 1 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.015 | 4 , 1 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.062 | 5 , 2 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.001 | 6 , 2 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.004 | 7 , 3 , 0 , 2 , 2 + 〉

| 2 2 + 〉 ≈ 0.7410 | s 7 d 3 〉 + 0.1203 | s 9 d 1 〉 + 0.0899 | s 8 d 2 〉 + 0.0434 | s 5 d 5 〉 + 0.0051 | s 6 d 4 〉 + 0.0003 | s 2 d 8 〉 + 0.0001 | s 3 d 7 〉

| Ψ 2 2 〉 ≈ − 0.347 | 1 , 0 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.300 | 2 , 0 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.861 | 3 , 1 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.071 | 4 , 1 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.208 | 5 , 2 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.007 | 6 , 2 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.018 | 7 , 3 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.001 | 9 , 4 , 0 , 2 , 2 + 〉

| 2 3 + 〉 ≈ 0.8338 | s 8 d 2 〉 + 0.0599 | s 5 d 5 〉 + 0.0564 | s 7 d 3 〉 + 0.0451 | s 9 d 1 〉 + 0.0040 | s 6 d 4 〉 + 0.0007 | s 3 d 7 〉

| Ψ 2 3 〉 ≈ − 0.212 | 1 , 0 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.913 | 2 , 0 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.238 | 3 , 1 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.245 | 4 , 1 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.063 | 5 , 2 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.026 | 6 , 2 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.001 | 7 , 3 , 0 , 2 , 2 + 〉

| 2 4 + 〉 ≈ 0.9079 | s 5 d 5 〉 + 0.0656 | s 8 d 2 〉 + 0.0262 | s 7 d 3 〉 + 0.0002 | s 9 d 1 〉 + 0.0001 | s 2 d 8 〉

| Ψ 2 4 〉 ≈ 0.014 | 1 , 0 , 0 , 2 , 2 + 〉 + 0.256 | 2 , 0 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.002 | 3 , 1 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.953 | 4 , 1 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.004 | 5 , 2 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.162 | 6 , 2 , 0 , 2 , 2 + 〉 − 0.009 | 7 , 3 , 0 , 2 , 2 + 〉

| 4 1 + 〉 ≈ 0.9348 | s 8 d 2 〉 + 0.0646 | s 6 d 4 〉 + 0.0007 | s 4 d 4 〉

| Ψ 4 1 〉 ≈ 0.967 | 2 , 0 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.254 | 4 , 1 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.027 | 6 , 2 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.001 | 8 , 3 , 0 , 4 , 4 + 〉

| 4 2 + 〉 ≈ 0.9087 | s 6 d 4 〉 + 0.0650 | s 8 d 2 〉 + 0.0263 | s 4 d 6 〉 + 0.0001 | s 2 d 8 〉

| Ψ 4 2 〉 ≈ - 0.225 | 2 , 0 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.953 | 4 , 1 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.162 | 6 , 2 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.009 | 8 , 3 , 0 , 4 , 4 + 〉

| 4 3 + 〉 ≈ 0.9689 | s 7 d 3 〉 + 0.0309 | s 5 d 5 〉 + 0.0002 | s 3 d 7 〉

| Ψ 4 3 〉 ≈ 0.984 | 3 , 0 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.176 | 5 , 1 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.013 | 7 , 2 , 0 , 4 , 4 + 〉

| 4 4 + 〉 ≈ 0.9549 | s 5 d 5 〉 + 0.0310 | s 7 d 3 〉 + 0.0140 | s 3 d 7 〉

| Ψ 4 4 〉 ≈ − 0.176 | 3 , 0 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.977 | 5 , 1 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.118 | 7 , 2 , 0 , 4 , 4 + 〉 + 0.004 | 9 , 3 , 0 , 4 , 4 + 〉

2.5. 电磁跃迁

利用波函数我们可以进一步研究原子核的电磁性质，本文计算了低激发能级的B(E2)值，见表3。

Table 3 The B(E2) of electromagnetic transitions of 100Z

	B(E2)		B(E2)		B(E2)
2 1 + → 0 1 +	19.3592	2 2 + → 0 2 +	7.5032	2 4 + → 0 3 +	3.3401
2 3 + → 2 1 +	21.3204	2 4 + → 2 2 +	16.2634	3 1 + → 2 3 +	15.8039
4 1 + → 2 1 +	25.9874	4 2 + → 2 2 +	16.2476	4 3 + → 2 3 +	16.2775
4 4 + → 2 4 +	11.6057	4 1 + → 3 1 +	6.5414	4 3 + → 4 1 +	14.0172
4 4 + → 4 2 +	10.6001	5 1 + → 3 1 +	16.7196	5 1 + → 4 3 +	7.5998
	29.4361	6 2 + → 4 2 +	22.2603	6 3 + → 4 3 +	21.7138
6 4 + → 4 4 +	16.2353	6 3 + → 6 1 +	10.1331	6 4 + → 6 2 +	7.5764
7 1 + → 5 1 +	22.3819	8 1 + → 6 1 +	31.8469	8 2 + → 6 2 +	23.8116
8 3 + → 6 3 +	24.8066	8 4 + → 6 4 +	17.5420	8 3 + → 8 1 +	7.8337
8 4 + → 8 2 +	5.5396	9 1 + → 7 1 +	24.2268	10 1 + → 8 1 +	32.6402
10 2 + → 8 2 +	23.0816		25.5915	10 4 + → 8 4 +	16.3520

表3. ¹⁰⁰Zr电磁跃迁的B(E2) 值

3. 结论

本文用IBM模型对偶–偶核¹⁰⁰Zr进行了研究，在模型所选的参数下拟合了低激发能级，计算结果在一定的误差允许范围内是合理的。同时也用能级的对应的波函数计算了约化跃迁几率。¹⁰⁰Zr核素的E-GOS曲线结果表明¹⁰⁰Zr是具有U(5)振动极限到SU(3)转动极限之间的过渡核，趋近于O(6)极限，具有较明显的γ-不稳定特性。

基金项目

内蒙古自治区教育厅自然科学重点项目(NJZZ17296)。

文章引用

董鸿飞,王印,李晓伟,吕立君,魏天枝. IBM模型对偶–偶核¹⁰⁰Zr的理论研究Study of Even-Even Nuclei ¹⁰⁰Zr by Interacting Boson Model[J]. 应用物理, 2019, 09(10): 403-409. https://doi.org/10.12677/APP.2019.910049

参考文献

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