本文主要研究相容BiHom-李代数的表示与BiHom-李代数的形变。首先给出了相容BiHom-李代数的定义，找到判断两个BiHom-李代数是相容的方法。其次定义了相容BiHom-李代数的表示，得到了相容BiHom-李代数与其表示空间的直和上存在相容BiHom-李代数结构的条件，并给出了相容BiHom-李代数表示的例子。然后讨论了相容BiHom-李代数表示的对偶映射同样是该相容BiHom-李代数表示所满足的条件，并构造出了对偶表示。最后构造了BiHom-李代数的形变。

BiHom-李代数，相容BiHom-李代数，表示，形变

Yao Sun

School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning

Received: May 23^rd, 2022; accepted: Jun. 15^th, 2022; published: Jun. 24^th, 2022

In this paper, we mainly discuss the representation of BiHom-Lie algebra and the deformation of BiHom-Lie algebra. Firstly, we give the definition of compatible BiHom-Lie algebra and the method of judging the compatibility of two BiHom-Lie algebras. Secondly, we define the representation of compatible BiHom-Lie algebra, and get the conditions for the existence of compatible BiHom-Lie algebra structure on the direct sum of the compatible BiHom-Lie algebra and its representation space. We also give an example of the representation of compatible BiHom-Lie algebra. Then we give the conditions when the dual mapping of the representation of compatible BiHom-Lie algebra is also the representation of compatible BiHom-Lie algebra and constructs the dual representation of the representation of compatible BiHom-Lie algebra. Finally, we introduce the deformation of BiHom-Lie algebra.

Keywords:BiHom-Lie Algebra, Compatible BiHom-Lie Algebra, Representation, Deformation

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BiHom-李代数是一类非常重要的代数，与李代数、Hom-李代数有非常密切的联系。当BiHom-李代数的两个扭曲映射为恒等映射时，BiHom-李代数即为李代数；当BiHom-李代数的两个扭曲映射相等时即为Hom-李代数。BiHom-李代数是2015年Graziani G，Makhlouf A，Menini C在文献 [1] 中提出的，之后一些学者对BiHom-李代数作了进一步研究。例如，文献 [2] 中作者研究了BiHom-李代数的分裂扩张和相应的上同调，并且建立了一个由交换BiHom-李代数V扩张的BiHom-李代数L的等价类与它的第二上同调群之间的对应关系。文献 [3] 中作者研究了BiHom-李代数关于表示、平凡表示、伴随表示的上同调。对于李代数和Hom-李代数，文献 [4] [5] 研究了相容李代数和相容Hom-李代数的上同调。本文主要研究相容BiHom-李代数的表示和BiHom-李代数的形变。

定义2.1 ( [1])若g是域K上的线性空间， α , β ∈ E n d ( g ) ， [ − , − ] : g ⊗ g → g 是双线性映射， α , β : g → g 是线性映射，如果 ∀ a , b , c ∈ g ，恒有

α β = β α ， (2.1)

[ β ( a ) , α ( b ) ] = − [ β ( b ) , α ( a ) ] ， (2.2)

[ β 2 ( a ) , [ β ( b ) , α ( c ) ] ] + [ β 2 ( b ) , [ β ( c ) , α ( a ) ] ] + [ β 2 ( c ) , [ β ( a ) , α ( b ) ] ] = 0 ， (2.3)

α [ a , b ] = [ α ( a ) , α ( b ) ] ， β [ a , b ] = [ β ( a ) , β ( b ) ] ， (2.4)

则称 ( g , [ − , − ] , α , β ) 是BiHom-李代数。

注记2.1 ( [3]) 设 ( g , [ − , − ] , α , β ) 是BiHom-李代数，若 α , β 是双射，则称 ( g , [ − , − ] , α , β ) 为正则BiHom-李代数。

定义2.2 ( [1])设 ( g , [ − , − ] , α , β ) 是BiHom-李代数，V是线性空间， α V , β V ∈ E n d ( V ) 且 α V β V = β V α V ， ρ : g → E n d ( V ) 是线性映射，如果对于 ∀ x , y ∈ g 恒有

ρ ( α ( x ) ) ∘ α V = α V ∘ ρ ( x ) ， ρ ( β ( x ) ) ∘ β V = β V ∘ ρ ( x ) ， (2.5)

ρ ( [ β ( x ) , y ] ) ∘ β V = ρ ( α β ( x ) ) ∘ ρ ( y ) − ρ ( β ( y ) ) ∘ ρ ( α ( x ) ) ，(2.6)

则称 ( V , ρ , α V , β V ) 是BiHom-李代数 ( g , [ − , − ] , α , β ) 的表示。

命题2.1 ( [1])设 ( g , [ − , − ] , α , β ) 是BiHom-李代数， ( V , ρ , α V , β V ) 是 ( g , [ − , − ] , α , β ) 的表示， α , β V 可逆，在 g ⊕ V 上定义

( α + α V ) ( x + u ) = α ( x ) + α V ( u ) ， ( β + β V ) ( x + u ) = β ( x ) + β V ( u ) ，

{ x + u , y + v } = [ x , y ] + ρ ( x ) v − ρ ( α − 1 β ( y ) ) ( α V β V − 1 ( u ) ) ，

其中 x , y ∈ g , u , v ∈ V ，则 ( g ⊕ V , { − , − } , α + α V , β + β V ) 是BiHom-李代数。

注记2.2 通过直接计算可知，当 ( g ⊕ V , { − , − } , α + α V , β + β V ) 是BiHom-李代数时， ( V , ρ , α V , β V ) 是 ( g , [ − , − ] , α , β ) 的表示。

命题2.2 ( [1])设 ( g , [ − , − ] , α , β ) 是正则BiHom-李代数，定义 a d : g → E n d ( g ) ，其中 a d ( x ) y = [ x , y ] ( ∀ x , y ∈ g ) ，则 ( g , a d , α , β ) 是 ( g , [ − , − ] , α , β ) 的表示，称为伴随表示。

命题2.3 ( [6])设 ( g , [ − , − ] , α , β ) 是BiHom-李代数， ( V , ρ , α V , β V ) 是它的表示，定义 ρ * : g → E n d ( V * ) ，其中 ρ * ( x ) ( f ) = − f ∘ ρ ( x ) ( ∀ f ∈ V * , x ∈ g ) ，则 ( V * , ρ * , α V * , β V * ) 是 ( g , [ − , − ] , α , β ) 的表示当且仅当对于 ∀ x , y ∈ g 满足

ρ ( x ) ∘ α V = α V ∘ ρ ( α ( x ) ) ， ρ ( x ) ∘ β V = β V ∘ ρ ( β ( x ) ) ，(2.7)

β V ∘ ρ ( [ β ( x ) , y ] ) = ρ ( α ( x ) ) ∘ ρ ( β ( y ) ) − ρ ( y ) ∘ ρ ( α β ( x ) ) 。(2.8)

命题2.4 ( [6])设 ( g , [ − , − ] , α , β ) 是BiHom-李代数， ( V , ρ , α V , β V ) 是 ( g , [ − , − ] , α , β ) 的表示， α V , β V 可逆，定义 ρ ∘ : g → E n d ( V * ) ，其中

ρ ∘ ( x ) = ρ ∗ ( α β ( x ) ) ( β V − 2 ) ∗ ( ∀ x ∈ g ) ， (2.9)

则 ( V * , ρ ∘ , ( α V − 1 ) * , ( β V − 1 ) * ) 是 ( g , [ − , − ] , α , β ) 的表示，称为 ( V , ρ , α V , β V ) 的对偶表示。

定义3.1 设 ( g , [ − , − ] 1 , α , β ) ， ( g , [ − , − ] 2 , α , β ) 是BiHom-李代数，如果对于 ∀ k 1 , k 2 ∈ K ， ( g , k 1 [ − , − ] 1 + k 2 [ − , − ] 2 , α , β ) 恒为BiHom-李代数，则称 ( g , [ − , − ] 1 , α , β ) 与 ( g , [ − , − ] 2 , α , β ) 是相容的，用 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 , α , β ) 表示。

定理3.1 两个BiHom-李代数 ( g , [ − , − ] 1 , α , β ) 和 ( g , [ − , − ] 2 , α , β ) 是相容的当且仅当

[ β 2 ( x ) , [ β ( y ) , α ( z ) ] 1 ] 2 + [ β 2 ( x ) , [ β ( y ) , α ( z ) ] 2 ] 1 + [ β 2 ( y ) , [ β ( z ) , α ( x ) ] 1 ] 2 + [ β 2 ( y ) , [ β ( z ) , α ( x ) ] 2 ] 1 + [ β 2 ( z ) , [ β ( x ) , α ( y ) ] 1 ] 2 + [ β 2 ( z ) , [ β ( x ) , α ( y ) ] 2 ] 1 = 0 ， (3.1)

其中 ∀ x , y , z ∈ g 。

证明由定义2.1， ( g , [ − , − ] 1 , α , β ) 和 ( g , [ − , − ] 2 , α , β ) 是相容的当且仅当 [ − , − ] = k 1 [ − , − ] 1 + k 2 [ − , − ] 2 满足等式(2.1)~(2.4)。由已知 α , β 是可交换的。由于 α , β 关于 [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 满足等式(2.2)，因此有 [ β ( x ) , α ( y ) ] = k 1 [ β ( x ) , α ( y ) ] 1 + k 2 [ β ( x ) , α ( y ) ] 2 = − k 1 [ β ( y ) , α ( x ) ] 1 − k 2 [ β ( y ) , α ( x ) ] 2 = − [ β ( y ) , α ( x ) ] ，所以 ( g , [ − , − ] , α , β ) 满足等式(2.2)。由于 [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 满足等式(2.3)，所以

[ β 2 ( x ) , [ β ( y ) , α ( z ) ] ] + [ β 2 ( y ) , [ β ( z ) , α ( x ) ] ] + [ β 2 ( z ) , [ β ( x ) , α ( y ) ] ] = k 1 k 2 ( [ β 2 ( x ) , [ β ( y ) , α ( z ) ] 1 ] 2 + [ β 2 ( x ) , [ β ( y ) , α ( z ) ] 2 ] 1 + [ β 2 ( y ) , [ β ( z ) , α ( x ) ] 1 ] 2         + [ β 2 ( y ) , [ β ( z ) , α ( x ) ] 2 ] 1 + [ β 2 ( z ) , [ β ( x ) , α ( y ) ] 1 ] 2 + [ β 2 ( z ) , [ β ( x ) , α ( y ) ] 2 ] 1 ) ，

因此 [ − , − ] 满足等式(2.3)当且仅当 [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 满足等式(3.1)。由于 α , β 关于 [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 满足等式(2.4)，所以显然有 α , β 关于 [ − , − ] 满足等式(2.4)。证毕。

定义3.2 设 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 , α , β ) 是相容的BiHom-李代数，如果 ( V , ρ 1 , α V , β V ) 是 ( g , [ − , − ] 1 , α , β ) 的表示， ( V , ρ 2 , α V , β V ) 是 ( g , [ − , − ] 2 , α , β ) 的表示，并且对于 ∀ x , y ∈ g 恒有

ρ 1 ( [ β ( x ) , y ] 2 ) β V + ρ 2 ( [ β ( x ) , y ] 1 ) β V + ρ 1 ( β ( y ) ) ρ 2 ( α ( x ) ) + ρ 2 ( β ( y ) ) ρ 1 ( α ( x ) ) − ρ 1 ( α β ( x ) ) ρ 2 ( y ) − ρ 2 ( α β ( x ) ) ρ 1 ( y ) = 0 ， (3.2)

则称 ( V , ρ 1 , ρ 2 , α V , β V ) 是相容BiHom-李代数 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 , α , β ) 的表示。

定理3.2 设 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 , α , β ) 是相容的BiHom-李代数，V是线性空间， ρ 1 , ρ 2 : g → E n d ( V ) 为线性映射， α V , β V ∈ E n d ( V ) ， α , β V 是双射，在 g ⊕ V 上定义

( α + α V ) ( x + u ) = α ( x ) + α V ( u ) ， ( β + β V ) ( x + u ) = β ( x ) + β V ( u ) ，

{ x + u , y + v } i = [ x , y ] i + ρ i ( x ) v − ρ i ( α − 1 β ( y ) ) ( α V β V − 1 ( u ) ) ，

其中 i = 1 , 2 ， x , y ∈ g ， u , v ∈ V ，则 ( V , ρ 1 , ρ 2 , α V , β V ) 是 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 , α , β ) 的表示当且仅当 ( g ⊕ V , { − , − } 1 , { − , − } 2 , α + α V , β + β V ) 是相容的BiHom-李代数。

证明 由命题2.1可知， ( V , ρ i , α V , β V ) 是 ( g , [ − , − ] i , α , β ) ( i = 1 , 2 ) 的表示当且仅当 ( g ⊕ V , { − , − } i , α + α V , β + β V ) ( i = 1 , 2 ) 是BiHom-李代数，因此只需证明 ( V , ρ 1 , ρ 2 , α V , β V ) 满足等式(3.2)当且仅当 ( g ⊕ V , { − , − } 1 , { − , − } 2 , α + α V , β + β V ) 满足等式(3.1)。由于

{ ( β + β V ) 2 ( x + u ) , { ( β + β V ) ( y + v ) , ( α + α V ) ( z + w ) } 1 } 2 + { ( β + β V ) 2 ( x + u ) , { ( β + β V ) ( y + v ) ，

( α + α V ) ( z + w ) } 2 } 1 + { ( β + β V ) 2 ( y + v ) , { ( β + β V ) ( z + w ) , ( α + α V ) ( x + u ) } 1 } 2 + { ( β + β V ) 2 ( y + v ) , { ( β + β V ) ( z + w ) , ( α + α V ) ( x + u ) } 2 } 1 + { ( β + β V ) 2 ( z + w ) , { ( β + β V ) ( x + u ) , ( α + α V ) ( y + z ) } 1 } 2 + { ( β + β V ) 2 ( z + w ) , { ( β + β V ) ( x + u ) , ( α + α V ) ( y + v ) } 2 } 1 = ( − ρ 2 ( [ α − 1 β 2 ( y ) , β ( z ) ] 1 ) ( α V β V ) − ρ 1 ( [ α − 1 β 2 ( y ) , β ( z ) ] 2 ) ( α V β V ) + ρ 2 ( β 2 ( y ) ) ( ρ 1 ( β ( z ) ) ( α V ) ) + ρ 1 ( β 2 ( y ) ) ( ρ 2 ( β ( z ) ) ( α V ) ) − ρ 2 ( β 2 ( z ) ) ( ρ 1 ( β ( y ) ) ( α V ) ) − ρ 1 ( β 2 ( z ) ) ( ρ 2 ( β ( y ) ) ( α V ) ) ) ( u )

+ ( − ρ 2 ( [ α − 1 β 2 ( z ) , β ( x ) ] 1 ) ( α V β V ) − ρ 1 ( [ α − 1 β 2 ( z ) , β ( x ) ] 2 ) ( α V β V ) + ρ ( β 2 ( z ) ) 2 ( ρ 1 ( β ( x ) ) ( α V ) ) + ρ 1 ( β 2 ( z ) ) ( ρ 2 ( β ( x ) ) ( α V ) ) − ρ 2 ( β 2 ( x ) ) ( ρ 1 ( β ( z ) ) ( α V ) ) − ρ 1 ( β 2 ( x ) ) ( ρ 2 ( β ( z ) ) ( α V ) ) ) ( v ) + ( − ρ 2 ( [ α − 1 β 2 ( x ) , β ( y ) ] 1 ) ( α V β V ) − ρ 1 ( [ α − 1 β 2 ( x ) , β ( y ) ] 2 ) ( α V β V ) + ρ 2 ( β 2 ( x ) ) ( ρ 1 ( β ( y ) ) ( α V ) ) + ρ 1 ( β 2 ( x ) ) ( ρ 2 ( β ( y ) ) ( α V ) ) − ρ 2 ( β 2 ( y ) ) ( ρ 1 ( β ( x ) ) ( α V ) ) − ρ 1 ( β 2 ( y ) ) ( ρ 2 ( β ( x ) ) ( α V ) ) ) ( w )

令 a = α − 1 β ( x ) , b = β ( y ) , c = α − 1 β ( y ) , d = β ( z ) , r = α − 1 β ( z ) , s = β ( x ) ，因为 α V β V = β V α V ，所以上式等于

( − ρ 2 ( [ β ( c ) , d ] 1 ) β V − ρ 1 ( [ β ( c ) , d ] 2 ) β V + ρ 2 ( α β ( c ) ) ρ 1 ( d ) + ρ 1 ( α β ( c ) ) ρ 2 ( d ) − ρ 2 ( β ( d ) ) ρ 1 ( α ( c ) ) − ρ 1 ( β ( d ) ) ρ 2 ( α ( c ) ) ) ( u ) + ( − ρ 2 ( [ β ( r ) , s ] 1 ) β V − ρ 1 ( [ β ( r ) , s ] 2 ) β V + ρ ( α β ( r ) ) 2 ρ 1 ( s ) + ρ 1 ( α β ( r ) ) ρ 2 ( s ) − ρ 2 ( β ( s ) ) ρ 1 ( α ( r ) ) − ρ 1 ( β ( s ) ) ρ 2 ( α ( r ) ) ) ( v ) + ( − ρ 2 ( [ β ( a ) , b ] 1 ) β V − ρ 1 ( [ β ( a ) , b ] 2 ) β V + ρ 2 ( α β ( a ) ) ρ 1 ( b ) + ρ 1 ( α β ( a ) ) ρ 2 ( b ) − ρ 2 ( β ( b ) ) ρ 1 ( α ( a ) ) − ρ 1 ( β ( b ) ) ρ 2 ( α ( a ) ) ) ( w ) = 0

由 u , v , w 的任意性， ( g ⊕ V , { − , − } 1 , { − . − } 2 , α + α V , β + β V ) 满足等式(3.1)当且仅当 ( V , ρ 1 , ρ 2 , α V , β V ) 满足等式(3.2)。证毕。

例3.1 设 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 , α , β ) 是相容正则BiHom-李代数，则 ( g , a d 1 , a d 2 , α , β ) 是 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 α , β ) 的表示。

证明 由命题2.2知 ( g , a d i , α , β ) 是正则BiHom-李代数 ( g , [ − , − ] i , α , β ) ( i = 1 , 2 ) 的表示。 ∀ x , y , z ∈ g ，

( a d 1 ( [ β ( x ) , y ] 2 ) β + a d 2 ( [ β ( x ) , y ] 1 ) β + a d 1 ( β ( y ) ) ( a d 2 ( α ( x ) ) ) + a d 2 ( β ( y ) ) a d 1 ( α ( x ) ) − a d 1 ( α β ( x ) ) a d 2 ( y ) − a d 2 ( α β ( x ) ) a d 1 ( y ) ) ( z ) = − [ β 2 ( α − 1 ( z ) ) , [ β ( β − 1 α ( x ) ) , α ( β − 1 ( y ) ) ] 2 ] 1 − [ β 2 ( α − 1 ( z ) ) , [ β ( β − 1 α ( x ) ) , α ( β − 1 ( y ) ) ] 1 ] 2 − [ β 2 ( β − 1 ( y ) ) , [ β ( α − 1 ( z ) ) , α ( β − 1 α ( x ) ) ] 2 ] 1 − [ β 2 ( β − 1 ( y ) ) , [ β ( α − 1 ( z ) ) , α ( β − 1 α ( x ) ) ] 1 ] 2 − [ β 2 ( β − 1 α ( x ) ) , [ β ( β − 1 ( y ) ) , α ( α − 1 ( z ) ) ] 2 ] 1 − [ β 2 ( β − 1 α ( x ) ) , [ β ( β − 1 ( y ) ) , α ( α − 1 ( z ) ) ] 1 ] 2 ，

令 a = α − 1 ( z ) , b = β − 1 α ( x ) , b = β − 1 ( y ) ，由于 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 , α , β ) 是相容正则BiHom-李代数，因此 [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 满足等式(3.1)，即上式得0，所以 ( g , a d 1 , a d 2 , α , β ) 满足等式(3.2)，所以 ( g , a d 1 , a d 2 , α , β ) 是 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 , α , β ) 的表示。证毕。

定理3.3 设 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 , α , β ) 是相容的BiHom-李代数， ( V , ρ 1 , ρ 2 , α V , β V ) 是 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 , α , β ) 的表示，定义 ρ i * : g → E n d ( V * ) ，其中 ρ i * ( x ) ( f ) = − f ∘ ρ i ( x ) ( i = 1 , 2 , ∀ f ∈ V * , x ∈ g ) ，则 ( V * , ρ 1 * , ρ 2 * , α V * , β V * ) 是 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 , α , β ) 的表示当且仅当 ρ 1 , ρ 2 满足等式(2.7)~(2.8)，且 ∀ x , y ∈ g ，

β V ∘ ρ 1 ( [ β ( x ) , y ] 2 ) + β V ∘ ρ 2 ( [ β ( x ) , y ] 1 ) + ρ 2 ( y ) ρ 1 ( α β ( x ) ) + ρ 1 ( y ) ρ 2 ( α β ( x ) ) − ρ 2 ( α ( x ) ) ρ 1 ( β ( y ) ) − ρ 1 ( α ( x ) ) ρ 2 ( β ( y ) ) = 0 。 (3.3)

证明 由定义3.2， ( V * , ρ 1 * , ρ 2 * , α V * , β V * ) 是 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 , α , β ) 的表示当且仅当 ( V * , ρ i * , α V * , β V * ) 是 ( g , [ − , − ] i , α , β ) ( i = 1 , 2 ) 的表示，并且 ρ 1 * , ρ 2 * , α V * , β V * 满足等式(3.2)。由命题2.3得 ( V * , ρ i * , α V * , β V * ) 是 ( g , [ − , − ] i , α , β ) ( i = 1 , 2 ) 的表示当且仅当 ρ 1 , ρ 2 满足等式(2.7)~(2.8)。由于 ∀ x , y ∈ g , f ∈ V * , u ∈ V ，

〈 ( ρ 1 * ( [ β ( x ) , y ] 2 ) β V * + ρ 2 * ( [ β ( x ) , y ] 1 ) β V * + ρ 1 * ( β ( y ) ) ρ 2 * ( α ( x ) ) + ρ 2 * ( β ( y ) ) ρ 1 * ( α ( x ) ) − ρ 1 * ( α β ( x ) ) ρ 2 * ( y ) − ρ 2 * ( α β ( x ) ) ρ 1 * ( y ) ) f , u 〉 = 〈 f , ( − β V ∘ ρ 1 ( [ β ( x ) , y ] 2 ) − β V ∘ ρ 2 ( [ β ( x ) , y ] 1 ) + ρ 2 ( α ( x ) ) ρ 1 ( β ( y ) ) ) + ρ 1 ( α ( x ) ) ρ 2 ( β ( y ) ) − ρ 2 ( y ) ρ 1 ( α β ( x ) ) − ρ 1 ( y ) ρ 2 ( α β ( x ) ) ) ( u ) 〉 ，

所以 ρ 1 * , ρ 2 * , α V * , β V * 满足等式(3.2)当且仅当 ρ 1 , ρ 2 , α V , β V 满足等式(3.3)。证毕。

定理3.4 设 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 , α , β ) 是相容的BiHom-李代数， ( V , ρ 1 , ρ 2 , α V , β V ) 是它的表示， α V , β V 可逆，定义 ρ i ∘ : g → E n d ( V ∗ ) ，其中

ρ i ∘ ( x ) = ρ i ∗ ( α β ( x ) ) ( β V − 2 ) ∗ ( i = 1 , 2 , x ∈ g ) ，

则 ( V * , ρ 1 ∘ , ρ 2 ∘ , ( α V − 1 ) * , ( β V − 1 ) * ) 是 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 , α , β ) 的表示，称为 ( V , ρ 1 , ρ 2 , α V , β V ) 的对偶表示。

证明 由定义3.2， ( V * , ρ 1 ∘ , ρ 2 ∘ , ( α V − 1 ) * , ( β V − 1 ) * ) 是相容BiHom-李代数 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 , α , β ) 的表示当且仅当 ( V * , ρ i ∘ , ( α V − 1 ) * , ( β V − 1 ) * ) 是 ( g , [ − , − ] i , α , β ) ( i = 1 , 2 ) 的表示，并且 ρ 1 ∘ , ρ 2 ∘ , ( α V − 1 ) * , ( β V − 1 ) * 满足等式(3.2)。由命题2.4知 ( V * , ρ i ∘ , ( α V − 1 ) * , ( β V − 1 ) * ) 是 ( g , [ − , − ] i , α , β ) ( i = 1 , 2 ) 的表示。因为 ρ 1 , ρ 2 , α V , β V 满足等式(2.5)，且 β V 可逆，所以 ∀ x , y ∈ g , f ∈ V * , u ∈ V ，

〈 ( ρ 1 ∘ ( [ β ( x ) , y ] 2 ) ( β V − 1 ) * + ρ 2 ∘ ( [ β ( x ) , y ] 1 ) ( β V − 1 ) * + ρ 1 ∘ ( β ( y ) ) ρ 2 ∘ ( α ( x ) ) + ρ 2 ∘ ( β ( y ) ) ρ 1 ∘ ( α ( x ) ) − ρ 1 ∘ ( α β ( x ) ) ρ 2 ∘ ( y ) − ρ 2 ∘ ( α β ( x ) ) ρ 1 ∘ ( y ) ) f , u 〉 = β V − 3 ( − ρ 1 [ α β 2 ( x ) , α β ( y ) ] 2 β V − ρ 2 [ α β 2 ( x ) , α β ( y ) ] 1 β V + ρ 2 ( α 2 β 2 ( x ) ) ρ 1 ( α β ( y ) ) + ρ 1 ( α 2 β 2 ( x ) ) ρ 2 ( α β ( y ) ) − ρ 2 ( α β 2 ( y ) ) ρ 1 ( α 2 β ( x ) ) − ρ 1 ( α β 2 ( y ) ) ρ 2 ( α 2 β ( x ) ) ) β V − 1 ，

令 a = α β ( x ) , b = α β ( y ) ，因为 ( V , ρ 1 , ρ 2 , α V , β V ) 是 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 , α , β ) 的表示，所以 ρ 1 , ρ 2 满足等式(3.2)，所以上式等于0，即 ρ 1 ∘ , ρ 2 ∘ , ( α V − 1 ) * , ( β V − 1 ) * 满足等式(3.2)。因此 ( V * , ρ 1 ∘ , ρ 2 ∘ , ( α V − 1 ) * , ( β V − 1 ) * ) 是相容BiHom-李代数 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 , α , β ) 的表示。

推论3.1 设 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 , α , β ) 是相容的正则BiHom-李代数，则 ( g * , a d 1 ∘ , a d 2 ∘ , ( α − 1 ) * , ( β − 1 ) ∗ ) 是 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 , α , β ) 的表示。

证明 由例3.1知 ( g , a d 1 , a d 2 , α , β ) 是相容正则BiHom-李代数 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 , α , β ) 的表示，所以由定理3.4知 ( g * , a d 1 ∘ , a d 2 ∘ , ( α − 1 ) * , ( β − 1 ) ∗ ) 是 ( g , [ − , − ] 1 , [ − , − ] 2 , α , β ) 的表示。

定理4.1 ( g , [ − , − ] , α , β ) 为BiHom-李代数， ω : g ⊗ g → g 为双线性映射，定义

[ x , y ] t = [ x , y ] + t ω ( x , y ) ( ∀ x , y ∈ g ) ， (4.1)

t为参数，则 ( g , [ − , − ] t , α , β ) 是BiHom-李代数当且仅当对于 ∀ x , y , z ∈ g 有

α ω ( x , y ) = ω ( α ( x ) , α ( y ) ) ， β ω ( x , y ) = ω ( β ( x ) , β ( y ) ) ， (4.2)

ω ( β ( x ) , α ( y ) ) = − ω ( β ( y ) , α ( x ) ) ， (4.3)

ω ( β 2 ( x ) , ω ( β ( y ) , α ( z ) ) ) + ω ( β 2 ( y ) , ω ( β ( z ) , α ( x ) ) ) + ω ( β 2 ( z ) , ω ( β ( x ) , α ( y ) ) ) = 0 ， (4.4)

[ β 2 ( x ) , ω ( β ( y ) , α ( z ) ) ] + ω ( β 2 ( x ) , [ β ( y ) , α ( z ) ] ) + [ β 2 ( y ) , ω ( β ( z ) , α ( x ) ) ] + ω ( β 2 ( y ) , [ β ( z ) , α ( x ) ] ) + [ β 2 ( z ) , ω ( β ( x ) , α ( y ) ) ] + ω ( β 2 ( z ) , [ β ( x ) , α ( y ) ] ) = 0 ， (4.5)

此时称 ( g , [ − , − ] t , α , β ) 为BiHom-李代数 ( g , [ − , − ] , α , β ) 的形变。

证明 由 [ − , − ] t 的定义知 [ − , − ] t 是双线性的。由定义2.1， ( g , [ − , − ] t , α , β ) 是BiHom-李代数当且仅当 [ − , − ] t 满足等式(2.1)~(2.4)。 α β = β α 显然成立。由于 [ − , − ] 满足等式(2.4)，所以 ∀ x , y ∈ g ，

α [ x , y ] t − [ α ( x ) , α ( y ) ] t = t α ω ( x , y ) − t ω ( α ( x ) , α ( y ) ) ，

β [ x , y ] t − [ β ( x ) , β ( y ) ] t = t β ω ( x , y ) − t ω ( β ( x ) , β ( y ) ) ，

因此 [ − , − ] t 满足等式(2.4)当且仅当等式(4.2)成立。由于 [ − , − ] 满足等式(2.2)，所以

[ β ( x ) , α ( y ) ] t + [ β ( y ) , α ( x ) ] t = t ω ( β ( x ) , α ( y ) ) + t ω ( β ( y ) , α ( x ) ) ，

因此 [ − , − ] t 满足等式(2.2)当且仅当等式(4.3)成立。因为 ∀ x , y , z ∈ g ， [ − , − ] 满足等式(2.3)，因此

[ β 2 ( x ) , [ β ( y ) , α ( z ) ] t ] t + [ β 2 ( y ) , [ β ( z ) , α ( x ) ] t ] t + [ β 2 ( z ) , [ β ( x ) , α ( y ) ] t ] t = t ( [ β 2 ( x ) , ω ( β ( y ) , α ( z ) ) ] + ω ( β 2 ( x ) , [ β ( y ) , α ( z ) ] ) + [ β 2 ( y ) , ω ( β ( z ) , α ( x ) ) ] + ω ( β 2 ( y ) , [ β ( z ) , α ( x ) ] ) + [ β 2 ( z ) , ω ( β ( x ) , α ( y ) ) ] + ω ( β 2 ( z ) , [ β ( x ) , α ( y ) ] ) ) + t 2 ( ω ( β 2 ( x ) , ω ( β ( y ) , α ( z ) ) ) + ω ( β 2 ( y ) , ω ( β ( z ) , α ( x ) ) ) + ω ( β 2 ( z ) , ω ( β ( x ) , α ( y ) ) ) ) ，

由t的任意性， [ − , − ] t 满足等式(2.3)当且仅当等式(4.4)~(4.5)成立。证毕。

定理4.2 设 ( g , [ − , − ] , α , β ) 是BiHom-李代数， ( V , ρ , α V , β V ) 是 ( g , [ − , − ] , α , β ) 的表示， ω : g ⊗ g → g 为双线性映射且满足等式(4.1)~(4.5)， σ : g → E n d ( V ) 为线性映射，定义 ρ t : g → E n d ( V ) ，其中

ρ t ( x ) = ρ ( x ) + t σ ( x ) ( ∀ x ∈ g ) ，

t为参数，则对于(4.1)定义的 [ − , − ] t ， ( V , ρ t , α V , β V ) 是 ( g , [ − , − ] t , α , β ) 的表示当且仅当对于 ∀ x , y ∈ g 恒有

σ ( α ( x ) ) ∘ α V = α V ∘ σ ( x ) ， σ ( β ( x ) ) ∘ β V = β V ∘ σ ( x ) ， (4.6)

σ ( ω ( β ( x ) , y ) ) ∘ β V = σ ( α β ( x ) ) σ ( y ) − σ ( β ( y ) ) σ ( α ( x ) ) ， (4.7)

ρ ω ( β ( x ) , y ) ∘ β V + σ ( [ β ( x ) , y ] ) ∘ β V = ρ ( α β ( x ) ) σ ( y ) + σ ( α β ( x ) ) ρ ( y ) − ρ ( β ( y ) ) σ ( α ( x ) ) − σ ( β ( y ) ) ρ ( α ( x ) ) ， (4.8)

此时称 ( V , ρ t , α V , β V ) 是表示 ( V , ρ , α V , β V ) 的形变。

证明 由定理4.1知 ( g , [ − , − ] t , α , β ) 是BiHom-李代数。 α V , β V 显然是可交换的。由定义2.2， ( V , ρ t , α V , β V ) 是 ( g , [ − , − ] t , α , β ) 的表示当且仅当 ρ t , α V , β V 满足等式(2.5)~(2.6)。 ∀ x ∈ g ，因为 ρ , α V , β V 满足等式(2.5)，所以

ρ t ( α ( x ) ) ∘ α V − α V ∘ ρ t ( x ) = t σ ( α ( x ) ) ∘ α V − t α V ∘ σ ( x ) ，

ρ t ( β ( x ) ) ∘ β V − β V ∘ ρ t ( x ) = t σ ( β ( x ) ) ∘ β V − t β V ∘ σ ( x ) ，

因此 ρ t , α V , β V 满足等式(2.5)当且仅当等式(4.6)成立。 ∀ x , y ∈ g ，由于 ρ , α V , β V 满足等式(2.6)，因此

ρ t ( [ β ( x ) , y ] t ) ∘ β V − ρ t ( α β ( x ) ) ∘ ρ t ( y ) + ρ t ( β ( y ) ) ∘ ρ t ( α ( x ) ) = t ( ρ ω ( β ( x ) , y ) ∘ β V + σ ( [ β ( x ) , y ] ) ∘ β V − ρ ( α β ( x ) ) σ ( y ) − σ ( α β ( x ) ) ρ ( y ) + ρ ( β ( y ) ) σ ( α ( x ) ) + σ ( β ( y ) ) ρ ( α ( x ) ) ) + t 2 ( σ ( ω ( β ( x ) , y ) ) ∘ β V − σ ( α β ( x ) ) σ ( y ) + σ ( β ( y ) ) σ ( α ( y ) ) ) ，

由t的任意性知， ρ t , α V , β V 满足等式(2.6)当且仅当等式(4.7)~(4.8)成立。证毕。

注记4.1等式(4.2)~(4.4)说明 ( g , ω , α , β ) 是BiHom-李代数；等式(4.5)说明 ( g , [ − , − ] , α , β ) 与 ( g , ω , α , β ) 是相容的BiHom-李代数；等式(4.6)~(4.7)说明 ( V , σ , α V , β V ) 是 ( g , ω , α , β ) 的表示；等式(4.8)说明 ( V , ρ , σ , α V , β V ) 是相容BiHom-李代数 ( g , [ − , − ] , ω , α , β ) 的表示。

辽宁师范大学教改项目LS202002。

孙 尧. 相容BiHom-李代数的表示及BiHom-李代数的形变Representation of Compatible BiHom-Lie Algebra and Deformation of BiHom-Lie Algebra[J]. 应用数学进展, 2022, 11(06): 3780-3787. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.116405