2. 模型的建立为了准确反应传染病传播过程中的影响，我们采用饱和发生率函数 β A 0 / ( 1 + c A ) 和 β I 0 / ( 1 + c I ) ，建立一如下SAIRS传染病模型：
d S ( t ) d t = μ − ( β A 0 1 + c A A ( t ) + β I 0 1 + c I I ( t ) ) S ( t ) − ( μ + ν ) S ( t ) + γ R ( t ) d A ( t ) d t = ( β A 0 1 + c A A ( t ) + β I 0 1 + c I I ( t ) ) S ( t ) − ( α + δ A + μ ) A ( t ) d I ( t ) d t = α A ( t ) − ( δ I + μ ) I ( t ) d R ( t ) d t = δ A A ( t ) + δ I I ( t ) + ν S ( t ) − ( γ + μ ) R ( t ) (1)
其中，将人群分为易感人群(S)、无症状感染者(A)、有症状感染者(I)和康复人群(R)，将每一天的人数记为 S ( t ) 、 A ( t ) 、 I ( t ) 、 R ( t ) ， μ 表示出生率和死亡率，从无症状区室，个体可以以 α 的速率发展为有症状感染I级，也可以以 δ A 的速率在没有出现症状的情况下康复；有症状的感染者可以以 δ I 的速度康复。 ν 表示疫苗接种率， γ 为恢复到易感的速率，c为正的调节系数。感染发生率为饱和发生率，通过接触无症状感染者(比率为 β A 0 / ( 1 + c A ) )或有症状个体(比率为 β I 0 / ( 1 + c I ) )传播给易感人群 [6] 。该模型的初始条件为 ( S ( 0 ) , A ( 0 ) , I ( 0 ) , R ( 0 ) ) ，并属于集合
D = { ( S , A , I , R ) ∈ R + 4 | S ( t ) + A ( t ) + I ( t ) + R ( t ) = 1 } ,
即D为系统的有界正不变集，系统的流程图如图1所示。
图1. SAIRS传染病模型的流程图
由于模型中 S ( t ) ， A ( t ) ， I ( t ) 的微分方程中不包含 R ( t ) ，因此可以只考虑以下模型：
d S d t = μ − ( β A 0 1 + c A A ( t ) + β I 0 1 + c I I ( t ) ) S ( t ) − ( μ + ν + r ) S ( t ) + γ ( 1 − A ( t ) − I ( t ) ) d A d t = ( β A 0 1 + c A A ( t ) + β I 0 1 + c I I ( t ) ) S ( t ) − ( α + δ A + μ ) A ( t ) d I d t = α A ( t ) − ( δ I + μ ) I ( t ) (2)
初始条件 S ( 0 ) ， A ( 0 ) ， I ( 0 ) 属于集合 D = { ( S , A , I ) ∈ R + 3 | S ( t ) + A ( t ) + I ( t ) ≤ 1 } 。
模型(2)可由矢量法 [7] 写为 d x ( t ) d t = f ( x ( t ) ) ，其中 x ( t ) = ( S ( t ) , A ( t ) , I ( t ) ) ，
f ( x ( t ) ) = ( f 1 ( x ( t ) ) , f 2 ( x ( t ) ) , f 3 ( x ( t ) ) ) 。
3. 模型的平衡点和基本再生数考虑模型(2)的无病平衡点 X 0 = ( S 0 0 , A 0 0 , I 0 0 )
f 1 ( t ) = μ − ( β A 0 1 + c A A ( t ) + β I 0 1 + c I I ( t ) ) S ( t ) − ( μ + ν + γ ) S ( t ) + γ ( 1 − A ( t ) − I ( t ) ) f 2 ( t ) = ( β A 0 1 + c A A ( t ) + β I 0 1 + c I I ( t ) ) S ( t ) − ( α + δ A + μ ) A ( t ) f 3 ( t ) = α A ( t ) − ( δ I + μ ) I ( t ) (3)
将 A 0 0 = 0 ， I 0 0 = 0 代入 f 1 ( t ) = 0 ，可得
S 0 0 = μ + γ μ + ν + γ
因此模型存在唯一无病平衡点
X 0 = ( μ + γ μ + ν + γ , 0 , 0 ) .
引理1 模型(2)的基本再生数R0为
R 0 = ( ( δ I + μ ) β A 0 + α β I 0 ) ( μ + γ ) ( δ I + μ ) ( α + δ A + μ ) ( μ + ν + γ ) .
证明 使用下一代矩阵方法求模型(2)的基本再生数，模型(2)有两个受感染的隔间，分别为A和I，模型中对应的微分方程为
d A ( t ) d t = ( β A 0 1 + c A A ( t ) + β I 0 1 + c I I ( t ) ) S ( t ) − ( α + δ A + μ ) A ( t ) d I ( t ) d t = α A ( t ) − ( δ I + μ ) I ( t )
将这两个微分方程改写为矩阵形式
d x d t = F ( x ) − V ( x ) .
则微分方程可写为以下形式：
d A d t = F 1 ( S ( t ) , A ( t ) , I ( t ) ) − V 1 ( S ( t ) , A ( t ) , I ( t ) ) d I d t = F 2 ( S ( t ) , A ( t ) , I ( t ) ) − V 2 ( S ( t ) , A ( t ) , I ( t ) ) ,
式中
F 1 ( S ( t ) , A ( t ) , I ( t ) ) = ( β A 0 1 + c A A ( t ) + β I 0 1 + c I I ( t ) ) S ( t ) F 2 ( S ( t ) , A ( t ) , I ( t ) ) = 0 V 1 ( S ( t ) , A ( t ) , I ( t ) ) = ( α + δ A + μ ) A ( t ) V 2 ( S ( t ) , A ( t ) , I ( t ) ) = − α A ( t ) + ( δ I + μ ) I ( t ) ,
计算得矩阵 F ( x ) 和 V ( x ) 在无病平衡点X0处的Jacobian矩阵分别为
F = ( ∂ F 1 ∂ A ∂ F 1 ∂ I ∂ F 2 ∂ A ∂ F 2 ∂ I ) = ( β A 0 S 0 0 ( 1 + c A ) 2 β I 0 S 0 0 ( 1 + c I ) 2 0 0 ) ,
V = ( ∂ V 1 ∂ A ∂ V 1 ∂ I ∂ V 2 ∂ A ∂ V 2 ∂ I ) = ( α + δ A + μ 0 − α δ I + μ ) ,
计算可得
V − 1 = ( 1 α + δ A + μ 0 α ( α + δ A + μ ) ( δ I + μ ) 1 δ I + μ ) ,
利用下一代矩阵法 [8] 可得 M = F V − 1 ，则
M = ( β A 0 S 0 0 ( 1 + c A ) 2 β I 0 S 0 0 ( 1 + c I ) 2 0 0 ) ( 1 α + δ A + μ 0 α ( α + δ A + μ ) ( δ I + μ ) 1 δ I + μ ) ,
M = ( β A 0 S 0 0 ( 1 + c A ) 2 ( α + δ A + μ ) + α β I 0 S 0 0 ( 1 + c I ) 2 ( α + δ A + μ ) ( δ I + μ ) β I 0 S 0 0 ( 1 + c I ) 2 ( δ I + μ ) 0 0 ) .
基本再生数R0为M的谱半径，即
R 0 = β A 0 S 00 ( 1 + c A ) 2 ( α + δ A + μ ) + α β I 0 S 00 ( 1 + c I ) 2 ( α + δ A + μ ) ( δ I + μ ) ,
式中
S 00 = μ + γ μ + ν + γ ,
将S00代入整理R0，得
R 0 = ( ( δ I + μ ) β A 0 + α β I 0 ) ( μ + γ ) ( δ I + μ ) ( α + δ A + μ ) ( μ + ν + γ ) .
引理2 当 R 0 < 1 时，模型(2)只有一个无病平衡点为X0；当 R 0 > 1 时，除了无病平衡点X0，模型(2)还有一个地方病平衡点 X * = ( S * , A * , I * ) 。
证明 令
μ − ( β A 0 1 + c A A ( t ) + β I 0 1 + c I I ( t ) ) S ( t ) − ( μ + ν + r ) S ( t ) + γ ( 1 − A ( t ) − I ( t ) ) = 0 ( β A 0 1 + c A A ( t ) + β I 0 1 + c I I ( t ) ) S ( t ) − ( α + δ A + μ ) A ( t ) = 0 α A ( t ) − ( δ I + μ ) I ( t ) = 0 (4)
由方程组(4)的第三个方程，可得
A * = δ I + μ α I * ,
将其替换到方程组(4)的第二个方程式，得
( β A 0 1 + c δ I + μ α I * δ I + μ α I * + β I 0 1 + c I * I * ) S * − ( α + δ A + μ ) δ I + μ α I * = 0 ,
由于 I * ≠ 0 ，有
S * = ( δ I + μ ) ( α + δ A + μ ) α ( β I 0 1 + c I * + β A 0 ( δ I + μ ) α ( 1 + c ( δ I + μ ) I * α ) ) = ( 1 + c I * ) ( α + c ( δ I + μ ) I * ) ( α + δ A + μ ) ( δ I + μ ) α β A 0 ( δ I + μ ) ( 1 + c I * ) + α β I 0 ( α + c ( δ I + μ ) I * )
再将 S * ， A * ，代入方程组(3)的第一个方程，得一元三次方程 I * 的正解，可由 a 1 I * 3 + a 2 I * 2 + a 3 I * + a 4 = 0 表示，其中 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 均由方程中参数表示，由解得非负性可知，在D中模型(2)有一个地方病平衡点 X * = ( S * , A * , I * ) 。
4. 平衡点稳定性分析下面根据解的有界性和构造合适的Lyapunov函数方法分析模型(2)在无病平衡点X0和地方病平衡点 X * ，在 R 0 > 1 及 R 0 < 1 时的局部渐近稳定性和全局渐近稳定性。
4.1. 无病平衡点X<sub>0</sub>稳定性分析定理1 (i) 若 R 0 < 1 ，则无病平衡点X0是局部渐近稳定的；
(ii) 若 R 0 > 1 ，则无病平衡点X0是不稳定的。
引理2 矩阵 ( F − V ) 有实谱，若 ρ ( F V − 1 ) < 1 ，则 ( F − V ) 特征值为负。
证明
( F − V ) = ( β A 0 S 00 ( α + δ A + μ ) ( 1 + c A ) 2 β I 0 S 00 ( 1 + c I ) 2 α − ( δ I + μ ) ) (5)
由于 ( F − V ) 为2 × 2矩阵，其非对角线元素具有相同符号，因此可以看出其特征值为实特征值。可设
N = ( a b c d ) ,
b , c 同号，
λ 1 , 2 = ( a + d ) ± ( a − d ) 2 + 4 b c 2 ,
可以看出根为两个非负值的和，若 ρ ( F V − 1 ) = R 0 < 1 ，则 ( F − V ) 的所有特征值是负的。由引理1和文献2中的定理可知，模型(2)的无病平衡点X0是局部渐近稳定的。
定理2 若 R 0 < 1 ，则无病平衡点X0是全局渐近稳定的。
证明 由于D是模型(2)的不变集，并鉴于定理1，足以证明对于所有 X ( 0 ) ∈ D
lim t → ∞ A ( t ) = 0 , lim t → ∞ I ( t ) = 0 , lim t → ∞ S ( t ) = S 00 ,
S00如(3)中所示。根据模型(2)的第一个方程可得
d S ( t ) d t ≤ μ + γ − ( μ + ν + γ ) S ( t )
可以看出，S00是比较方程的全局渐近稳定平衡点，比较方程为
d y ( t ) d t = μ + γ − ( μ + ν + γ ) y ( t )
由此可得，对于 ∀ ε > 0 ， ∃ t ¯ > 0 ，使得对于所有 t ≥ t ¯ ，有 S ( t ) ≤ S 00 ( t ) + ε 。
证明如下
S ( t ) ′ ≤ μ + γ − ( μ + ν + γ ) S ( t )
S ( t ) ′ + ( μ + ν + γ ) S ( t ) ≤ μ + γ
( S ( t ) e ( μ + ν + γ ) t ) ′ ≤ ( μ + γ ) e ( μ + ν + γ ) t
S ( t ) e ( μ + ν + γ ) t − S ( 0 ) ≤ μ + γ μ + ν + γ ( e ( μ + ν + γ ) t − 1 )
S ( t ) ≤ S ( 0 ) e − ( μ + ν + γ ) t + μ + γ μ + ν + γ ( 1 − e − ( μ + ν + γ ) t )
可得 S ( t ) ≤ S 00 ( t ) + ε ，证毕。
因此
lim t → ∞ sup S ( t ) ≤ S 00 (6)
由(6)和模型(2)可得 t ≥ t ¯ 时，有
d A ( t ) d t ≤ ( β A 0 1 + c A A ( t ) + β I 0 1 + c I I ( t ) ) ( S 00 + ε ) − ( α + δ A + μ ) A ( t )
d I d t = α A ( t ) − ( δ I + μ ) I ( t )
考虑比较系统
d w 1 ( t ) d t = ( β A 0 1 + c w 1 w 1 ( t ) + β I 0 1 + c w 2 w ( t ) 2 ) ( S 00 + ε ) − ( α + δ A + μ ) w 1 ( t )
d w 2 ( t ) d t = α w 1 ( t ) − ( δ I + μ ) w 2 ( t )
w 1 ( t ¯ ) = A ( t ¯ ) , w 2 ( t ¯ ) = I ( t ¯ )
则可将比较系统重写为以下形式
d w ( t ) d t = ( F ε − V ε ) w ( t )
其中 w ( t ) = ( w 1 ( t ) , w 2 ( t ) ) T ， ( F ε − V ε ) 是矩阵(8)中的矩阵，将 X 0 ( ε ) = ( S 00 + ε , 0 , 0 ) 带入计算。我们可以看出若 R 0 = ρ ( F V − 1 ) < 1 ，我们可以选择一个足够小的 ε > 0 ，使得 ρ ( F ε − V ε ) < 1 。然后，将引理1应用于 ( F ε − V ε ) ，能够的到 ( F ε − V ε ) 有一个实谱，并且它的所有特征值为负的。无论初始值为何值均遵循
lim t → ∞ w ( t ) = 0 ，从中有
lim t → ∞ A ( t ) = 0 , lim t → ∞ I ( t ) = 0
对于 ∀ ε > 0 ， ∃ t 1 ，使得对于 ∀ t ≥ t ¯ 1 ，有 A ( t ) < ε ， I ( t ) < ε ，因此对 t ≥ t ¯ 1 有
d S ( t ) d t ≥ μ − ε ( β A 0 1 + c ε + β I 0 1 + c ε ) S ( t ) − ( μ + ν + γ ) S ( t ) + γ ( 1 − 2 ε )
可以看出 μ + γ ( 1 − 2 ε ) ε 1 + c ε ( β A 0 + β I 0 ) + ( μ + ν + γ ) 是比较方程的全局渐近稳定平衡点，比较方程为
d y ( t ) d t = μ − ε 1 + c ε ( β A 0 + β I 0 ) S ( t ) − ( μ + ν + γ ) S ( t ) + γ ( 1 − 2 ε )
由此可得对于 ∀ ξ > 0 ， ∃ t ¯ 2 > 0 ，使得对于所有 t ≥ t ¯ 2 有
S ( t ) ≥ μ + γ ( 1 − 2 ε ) ε 1 + c ε ( β A 0 + β I 0 ) + ( μ + ν + γ ) − ξ
证明如下
S ( t ) ′ ≥ μ − ε ( β A 0 1 + c ε + β I 0 1 + c ε ) S ( t ) − ( μ + ν + γ ) S ( t ) + γ ( 1 − 2 ε )
S ( t ) ′ + ( ε 1 + c ε ( β A 0 + β I 0 ) + ( μ + ν + γ ) ) S ( t ) ≥ μ + γ ( 1 − 2 ε )
( S ( t ) e ( ε 1 + c ε ( β A 0 + β I 0 ) + ( μ + ν + γ ) ) t ) ′ ≥ μ + γ ( 1 − 2 ε ) e ( ε 1 + c ε ( β A 0 + β I 0 ) + ( μ + ν + γ ) t )
S ( t ) e ( ε 1 + c ε ( β A 0 + β I 0 ) + ( μ + ν + γ ) ) t − S ( 0 ) ≥ μ + γ ( 1 − 2 ε ) ε 1 + c ε ( β A 0 + β I 0 ) + ( μ + ν + γ ) ( e ( ε 1 + c ε ( β A 0 + β I 0 ) + ( μ + ν + γ ) t ) − 1 )
S ( t ) ≥ S ( 0 ) e − ( ε 1 + c ε ( β A 0 + β I 0 ) + ( μ + ν + γ ) ) t + μ + γ ( 1 − 2 ε ) ε 1 + c ε ( β A 0 + β I 0 ) + ( μ + ν + γ ) ( 1 − e − ( ε 1 + c ε ( β A 0 + β I 0 ) + ( μ + ν + γ ) t ) )
由此可得
S ( t ) ≥ μ + γ ( 1 − 2 ε ) ε 1 + c ε ( β A 0 + β I 0 ) + ( μ + ν + γ ) − ξ ,
对 ∀ ε > 0 ，有 lim t → ∞ inf S ( t ) ≥ μ + γ ( 1 − 2 ε ) ε 1 + c ε ( β A 0 + β I 0 ) + ( μ + ν + γ ) ，使 ε → 0 ，则有 lim t → ∞ inf S ( t ) ≥ S 00 ，结合(6)我们可得
lim t → ∞ S ( t ) = S 00
因此，当 R 0 < 1 ，模型(2)的无病平衡点X0是全局渐近稳定的。
4.2. 地方病平衡点X<sup>*</sup>稳定性分析在本节中分析SAIR模型的地方病的全局渐近稳定性，为了简化分析，这里我们引入了一种具有永久免疫的传染病模型，即 γ = 0 的模型(2)的全局渐近稳定性，这类SAIR模型的动力学为以下方程组：
d S d t = μ − ( β A 0 1 + c A A ( t ) + β I 0 1 + c I I ( t ) ) S ( t ) − ( μ + ν ) S ( t ) d A d t = ( β A 0 1 + c A A ( t ) + β I 0 1 + c I I ( t ) ) S ( t ) − ( α + δ A + μ ) A ( t ) d I d t = α A ( t ) − ( δ I + μ ) I ( t ) (7)
基本再生数
R 0 = β A 0 ( δ I + μ ) + α β I 0 ( δ I + μ ) ( α + δ A + μ ) .
定理3 当 R 0 > 1 时，模型(3)的地方病平衡点X*是全局渐近稳定的。
证明 地方病平衡点 X * = ( S * , A * , I * ) 满足方程
μ = ( β A 0 1 + c A * A * ( t ) + β I 0 1 + c I * I * ( t ) ) S * ( t ) + ( μ + ν ) S * ( t )
( α + δ A + μ ) A * ( t ) = ( β A 0 1 + c A * A * ( t ) + β I 0 1 + c I * I * ( t ) ) S * ( t )
α A * ( t ) = ( δ I + μ ) I * ( t )
为了方便记法，可省略对t的依赖，考虑和函数 V = c 1 V 1 + c 2 V 2 + V 3 ，其中 c 1 > 0 ， c 2 > 0 ，
V 1 = S * g ( S S * ) , V 2 = A * g ( A A * ) , V 3 = I * g ( I I * ) ,
设 g ( x ) = x − 1 − ln x ( x > 0 ) ，则 g ( x ) = x − 1 − ln x ≥ g ( 1 ) = 0 。对 ∀ x > 0 ，有
u = S S * , y = A A * , z = I I * (8)
由方程组(7)中的第一个方程，可得
c 1 d V 1 d t = c 1 ( 1 − S * S ) ( μ − ( β A 0 1 + c A A + β I 0 1 + c I I ) S − ( μ + ν ) S ) ,
将 μ = ( β A 0 1 + c A * A * ( t ) + β I 0 1 + c I * I * ( t ) ) S * ( t ) + ( μ + ν ) S * ( t ) 带入，得
c 1 d V 1 d t = c 1 ( 1 − S * S ) ( ( μ + ν ) ( S * − S ) + β A 0 1 + c A * A * S * − β A 0 1 + c A A S + β I 0 1 + c I * I * S * − β I 0 1 + c I I S )
将(8)代入化简该方程，得
c 1 d V 1 d t = c 1 ( 1 − 1 u ) ( ( μ + ν ) S * ( 1 − u ) + β A 0 1 + c A * A * S * − β A 0 1 + c y A * u y A * S * + β I 0 1 + c I * I * S * − β I 0 1 + c z I * u z I * S * )
由方程组(7)中的第二个方程，可得
c 2 d V 2 d t = c 2 ( 1 − A * A ) ( ( β A 0 1 + c A A + β I 0 1 + c I I ) S − ( α + δ A + μ ) A )
将(8)代入化简该方程，得
c 2 d V 2 d t = c 2 ( 1 − 1 y ) ( β A 0 1 + c y A * u y A * S * − β A 0 1 + c A * y A * S * + β I 0 1 + c z I * u z I * S * − β I 0 1 + c I * y I * S * )
由方程组(7)中的第三个方程，可得
d V 3 d t = ( 1 − I * I ) ( α A − ( δ I + μ ) I )
d V 3 d t = ( 1 − I * I ) ( α A − α I A * I * )
d V 3 d t = α A * ( 1 + A A * − I I * − A I * A * I ) ≤ α A * ( − ln y + y − z + ln z ) = α A * ( g ( y ) − g ( z ) ) .
则由上述三个方程相加得 d V d t
d V d t = c 1 ( 1 − 1 u ) ( ( μ + ν ) S * ( 1 − u ) + β A 0 1 + c A * A * S * − β A 0 1 + c y A * u y A * S * + β I 0 1 + c I * I * S * − β I 0 1 + c z I * u z I * S * ) + c 2 ( 1 − 1 y ) ( β A 0 1 + c y A * u y A * S * − β A 0 1 + c A * y A * S * + β I 0 1 + c z I * u z I * S * − β I 0 1 + c I * y I * S * ) + α A * ( g ( y ) − g ( z ) )
d V d t = c 1 ( 1 − 1 u ) ( μ + ν ) S * ( 1 − u ) + c 1 ( 1 − 1 u ) β A 0 1 + c A * A * S * − c 1 ( 1 − 1 u ) β A 0 1 + c y A * u y A * S * + c 1 ( 1 − 1 u ) β I 0 1 + c I * I * S * − c 1 ( 1 − 1 u ) β I 0 1 + c z I * u z I * S * + c 2 ( 1 − 1 y ) β A 0 1 + c y A * u y A * S * − c 2 ( 1 − 1 y ) β A 0 1 + c A * y A * S * + c 2 ( 1 − 1 y ) β I 0 1 + c z I * u z I * S * − c 2 ( 1 − 1 y ) β I 0 1 + c I * y I * S * + α A * ( g ( y ) − g ( z ) )
d V d t = − c 1 ( 1 − 1 u ) ( μ + ν ) S * ( u − 1 ) − c 1 ( ( 1 − 1 u ) u y − c 2 c 1 ( 1 − 1 y ) u y ) β A 0 1 + c y A * A * S * + c 1 ( ( 1 − 1 u ) − c 2 c 1 ( 1 − 1 y ) y ) β A 0 1 + c A * A * S * − c 1 ( ( 1 − 1 u ) u z − c 2 c 1 ( 1 − 1 y ) u z ) β I 0 1 + c z I * I * S * + c 1 ( ( 1 − 1 u ) − c 2 c 1 ( 1 − 1 y ) y ) β I 0 1 + c I * I * S * + α A * ( g ( y ) − g ( z ) )
式中
( 1 − 1 u ) u y − c 2 c 1 ( 1 − 1 y ) u y = u y − y − c 2 c 1 u y + c 2 c 1 u = ( 1 − c 2 c 1 ) u y − y + c 2 c 1 u = ( 1 − c 2 c 1 ) g ( u y ) − g ( y ) + c 2 c 1 g ( u )
( 1 − 1 u ) − c 2 c 1 ( 1 − 1 y ) y = 1 − 1 u − c 2 c 1 y + c 2 c 1 = ( 1 + c 2 c 1 ) − 1 u − c 2 c 1 y = − g ( 1 u ) − c 2 c 1 g ( y )
( 1 − 1 u ) u z − c 2 c 1 ( 1 − 1 y ) u z = u z − z − c 2 c 1 u z + c 2 c 1 u z y = ( 1 − c 2 c 1 ) u z − z + c 2 c 1 u z y = ( 1 − c 2 c 1 ) g ( u z ) − g ( z ) + c 2 c 1 g ( u z y )
( 1 − 1 u ) − c 2 c 1 ( 1 − 1 y ) y = 1 − 1 u − c 2 c 1 y − c 2 c 1 = ( 1 − c 2 c 1 ) − 1 u − c 2 c 1 y = − g ( 1 u ) − c 2 c 1 g ( y )
整理代入 d V d t ，得
d V d t = − c 1 ( 1 − 1 u ) ( μ + ν ) S * ( u − 1 ) − c 1 ( ( 1 − c 2 c 1 ) g ( u y ) − g ( y ) + c 2 c 1 g ( u ) ) β A 0 1 + c y A * A * S * − c 1 ( g ( 1 u ) + c 2 c 1 g ( y ) ) β A 0 1 + c A * A * S * − c 1 ( ( 1 − c 2 c 1 ) g ( u z ) − g ( z ) + c 2 c 1 g ( u z y ) ) β I 0 1 + c z I * I * S * − c 1 ( g ( 1 u ) + c 2 c 1 g ( y ) ) β I 0 1 + c I * I * S * + α A * ( g ( y ) − g ( z ) )
对该方程进行放缩
d V d t ≤ − c 1 ( 1 − 1 u ) ( μ + ν ) S * ( u − 1 ) − c 1 ( ( 1 − c 2 c 1 ) g ( u y ) − g ( y ) + c 2 c 1 g ( u ) ) β A 0 1 + c g ( y ) A * A * S * − c 1 ( g ( 1 u ) + c 2 c 1 g ( y ) ) β A 0 1 + c g ( y ) A * A * S * − c 1 ( ( 1 − c 2 c 1 ) g ( u z ) − g ( z ) + c 2 c 1 g ( u z y ) ) β I 0 1 + c g ( z ) I * I * S * − c 1 ( g ( 1 u ) + c 2 c 1 g ( y ) ) β I 0 1 + c g ( z ) I * I * S * + α A * ( g ( y ) − g ( z ) )
整理右式，可得
d V d t ≤ − c 1 ( 1 − 1 u ) ( μ + ν ) S * ( u − 1 ) − c 1 ( ( 1 − c 2 c 1 ) g ( u y ) − g ( y ) + c 2 c 1 g ( u ) + g ( 1 u ) + c 2 c 1 g ( y ) ) β A 0 1 + c g ( y ) A * A * S * − c 1 ( ( 1 − c 2 c 1 ) g ( u z ) − g ( z ) + c 2 c 1 g ( u z y ) + g ( 1 u ) + c 2 c 1 g ( y ) ) β I 0 1 + c g ( z ) I * I * S * + α A * ( g ( y ) − g ( z ) )
令
c 1 = c 2 = α A * ( 1 + c g ( z ) I * ) I * S * β I 0 ,
则
d V d t ≤ − c 1 ( u − 1 ) 2 ( μ + ν ) S * u − c 1 ( g ( u ) + g ( 1 u ) ) β A 0 1 + c g ( y ) A * A * S * − c 1 ( g ( u z y ) + g ( 1 u ) ) β I 0 1 + c g ( z ) I * I * S *
因此，当 R 0 > 1 时，有
d V d t ≤ 0 .
且考虑
d V d t ≤ 0
当且仅当
H = { ( S , A , I ) | S = S * , I = A I * A * } ,
故
{ ( S , A , I ) | d V d t = 0 }
的最大不变集为单点集 { X * } 。由Lasalle不变集原理，以及X*的局部渐近稳定性可知，当 R 0 > 1 时，模型(8)的地方病平衡点X*是全局渐近稳定的。
