本文利用值分布理论和正规族理论等相关知识，研究了全纯曲线族分担处于次一般位置的超平面的正规定则。设 F 是一族从区域 D ⊂ ℂ 到 ℙ 3 ( ℂ ) 的全纯曲线， H l = { x ∈ P 3 ( C ) : 〈 x , α l 〉 = 0 } ≠ H 0 是 ℙ 3 ( ℂ ) 中k个处于t次一般位置的超平面，其中 α l = ( α l 0 , α l 1 , α l 2 , α l 3 ) T ， l = 1 , 2 , ⋯ , k ， H 0 = { x 0 = 0 } ， t ≥ 3 ， k = min { p : 2 t + 1 ≤ p ≤ 3 t + 1 , [ p − t 3 ] ≤ ( p − 2 t − 1 ) } 。如果对任意的 f ∈ F ，满足： f ( z ) ∈ H l 当且仅当 ∇ f ( z ) ∈ H l ；若 f ( z ) ∈ ∪ t = 1 k H l ，那么 | 〈 f ( z ) , H 0 〉 | | | f ( z ) | ⋅ | H 0 | | ≥ δ ，其中 0 < δ < 1 是一个常数，则 F 在D上正规。

正规族，全纯曲线，分担超平面，导曲线

Ruiwei Wang, Xiaojun Liu

College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai

Received: Mar. 28^th, 2024; accepted: Apr. 30^th, 2024; published: May 28^th, 2024

Based on value distribution theory and normal family theory, the normality of hyperplanes in sub-general position shared by holomorphic curve families is considered. Let F be a family of holomorphic maps of a domain D ⊂ ℂ to ℙ 3 ( ℂ ) . Let H l = { x ∈ P 3 ( C ) : 〈 x , α l 〉 = 0 } ≠ H 0 be hyperplanes in ℙ 3 ( ℂ ) located in general position, where α l = ( α l 0 , α l 1 , α l 2 , α l 3 ) T , l = 1 , 2 , ⋯ , k , H 0 = { x 0 = 0 } , k = min { p : 2 t + 1 ≤ p ≤ 3 t + 1 , [ p − t 3 ] ≤ ( p − 2 t − 1 ) } . Assume the following conditions hold for every f ∈ F : if and only if f ( z ) ∈ H l , then ∇ f ( z ) ∈ H l ; If f ( z ) ∈ ∪ t = 1 k H l , then | 〈 f ( z ) , H 0 〉 | | | f ( z ) | ⋅ | H 0 | | ≥ δ , where 0 < δ < 1 is a constant. Then F is normal on D.

Keywords:Normal Family, Holomorphic Curve, Shared Hyperplanes, Derived Curves

Copyright © 2024 by author(s) and Hans Publishers Inc.

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值分布理论，又称Nevanlinna理论，是复分析发展史上最深刻的研究领域之一，起源于对亚纯函数值的分布情况的研究，正规族理论的核心问题是关于正规定则的研究。在亚纯函数的值分布和正规族理论中，有一个著名的现象(Bloch原理)，即如果在一个区域 D ⊂ ℂ 有性质 ℘ 使得亚纯函数在整个复平面上是常数，那么这个亚纯函数族就是正规的。Zalcman给出了更精确的叙述(Zalcman引理)去判断亚纯函数族的正规性。而在全纯曲线的例子中也存在一些类似的现象。

2015年，叶亚盛、庞学诚和杨刘 [1] 在考虑全纯曲线f与其导曲线 ∇ f “强分担”超平面的情形，证明了下面定理。

定理1：设 F ⊂ H ( D ; ℙ N ( ℂ ) ) 是一族从区域 D ⊂ ℂ 到 ℙ N ( ℂ ) 的全纯曲线， H 1 , H 2 , ⋯ , H 2 N + 1 是 ℙ N ( ℂ ) 中的 2 N + 1 个处于一般位置的超平面， δ 是一个实数， 0 < δ < 1 。若对于任意的 f ∈ F ，满足下列条件：

(1) f ( z ) 与 ∇ f ( z ) 在D上“强分担” H j ，其中 j = 1 , ⋯ , 2 N + 1 ；

(2) 若 f ( z ) ∈ ∪ j = 1 2 N + 1 H j ，那么 | 〈 f ( z ) , H 0 〉 | | | f ( z ) | ⋅ | H 0 | | ≥ δ ，其中 H 0 = { x 0 = 0 } 是一个坐标超平面，

则 F 在D上正规。

这里的“强分担”意味着 f − 1 ( H ) = ∇ f − 1 ( H ) ，且满足 f − 1 ( H ) = ∇ f − 1 ( H ) 的点上有 f ( z ) = ∇ f ( z ) 。

刘晓俊、庞学诚和杨锦华 [2] 对于首项系数非零的超平面，将定理1中的“强分担”减弱为“分担”，得到了下面定理。

定理2：设 F 是一族从区域 D ⊂ ℂ 到 ℙ N ( ℂ ) 的全纯曲线， H j = { x ∈ ℙ N ( ℂ ) : 〈 x , α j 〉 = 0 } 是 ℙ N ( ℂ ) 中处于一般位置的超平面，这里 α j = ( a j 0 , ⋯ , a j N ) T 且 a j 0 ≠ 0 ， j = 1 , ⋯ , 2 N + 1 。若对于任意的 f ∈ F ，满足下列两个条件：

(1) 若 f ( z ) ∈ H j ，则 ∇ f ( z ) ∈ H j ，其中 j = 1 , ⋯ , 2 N + 1 ；

(2) 若 f ( z ) ∈ ∪ j = 1 2 N + 1 H j ，那么 | 〈 f ( z ) , H 0 〉 | | | f ( z ) | ⋅ | H 0 | | ≥ δ ，其中 H 0 = { x 0 = 0 } ， 0 < δ < 1 是一个常数。

则 F 在D上正规。

去掉了超平面首项系数非零的限制，在 N = 2 的情况下，刘晓俊与庞学诚 [3] 得到下面的定理。

定理3：设 F 是一族从区域 D ⊂ ℂ 到 ℙ 2 ( ℂ ) 的全纯曲线，令 H 0 = { x 0 = 0 } ， H l = { x ∈ ℙ 2 ( ℂ ) : 〈 x , α l 〉 = 0 } ≠ H 0 是 ℙ 2 ( ℂ ) 中处于一般位置的超平面，其中 α l = ( a l 0 , a l 1 , a l 2 ) T ， l = 1 , ⋯ , 5 。假设对任意的 f ∈ F ，满足下列两个条件：

(1) f ( z ) ∈ H l 当且仅当 ∇ f ( z ) ∈ H l ，其中 l = 1 , ⋯ , 5 ；

(2) 若 f ( z ) ∈ ∪ l = 1 5 H l ，那么 | 〈 f ( z ) , H 0 〉 | ‖ f ( z ) ‖ ⋅ ‖ H 0 ‖ ≥ δ ，其中 0 < δ < 1 是一个常数。

则 F 在D上正规。

随后，郑晓杰和刘晓俊 [4] 考虑了 N = 3 的情形，在额外增加一个超平面的情况下，证明了如下定理：

定理4：设 F 是一族从区域 D ⊂ ℂ 到 ℙ 3 ( ℂ ) 的全纯曲线，令 H 0 = { x 0 = 0 } ， H l = { x ∈ P 3 ( C ) : 〈 x , α l 〉 = 0 } ≠ H 0 是 ℙ 3 ( ℂ ) 中处于一般位置的超平面，其中 α l = ( α l 0 , α l 1 , α l 2 , α l 3 ) T ， l = 1 , 2 , ⋯ , 8 ，假设对任意的 f ∈ F ，满足下列两个条件：

(1) f ( z ) ∈ H l 当且仅当 ∇ f ( z ) ∈ H l ，其中 l = 1 , 2 , ⋯ , 8 ；

(2) 若 f ( z ) ∈ ∪ l = 1 8 H l ，则 | 〈 f ( z ) , H 0 〉 | ‖ f ( z ) ‖ ⋅ ‖ H 0 ‖ ≥ δ ，其中 0 < δ < 1 是一个常数。

则 F 在D上正规。

范楚君和刘晓俊 [5] 又考虑了当 N = 3 时，分担处于t次一般位置的超平面的正规定则，对于 t = 3 , 4 , 5 的情形，得到了如下定理。

定理5：设 F 是一族从区域 D ⊂ ℂ 到 ℙ 3 ( ℂ ) 的全纯曲线，令 H 0 = { x 0 = 0 } ， H l = { x ∈ P 3 ( C ) : 〈 x , α l 〉 = 0 } ≠ H 0 是 ℙ 3 ( ℂ ) 中处于t次一般位置的超平面，其中 α l = ( α l 0 , α l 1 , α l 2 , α l 3 ) T ， l = 1 , 2 , ⋯ , 2 t + 3 ，如果对任意的 f ∈ F ，满足下列两个条件：

(1) f ( z ) ∈ H l 当且仅当 ∇ f ( z ) ∈ H l ，其中 l = 1 , 2 , ⋯ , 2 t + 3 ；

(2) 若 f ( z ) ∈ ∪ l = 1 2 t + 3 H l ，则 | 〈 f ( z ) , H 0 〉 | ‖ f ( z ) ‖ ⋅ ‖ H 0 ‖ ≥ δ ，其中 0 < δ < 1 是一个常数。

则当 t = 3 , 4 , 5 时， F 在D上正规。

本文继续研究上述问题，通过改进研究方法，总结分析后，得到下面结论。当 N = 3 时，对处于任意 t ≥ 3 次一般位置的超平面，找到了可以使得结论成立的最小的超平面个数，即如下定理。

定理6：设 F 是一族从区域 D ⊂ ℂ 到 ℙ 3 ( ℂ ) 的全纯曲线， t ≥ 3 为整数，设 H l = { x ∈ P 3 ( C ) : 〈 x , α l 〉 = 0 } ≠ H 0 是 ℙ 3 ( ℂ ) 中k个处于t次一般位置的超平面，其中 α l = ( α l 0 , α l 1 , α l 2 , α l 3 ) T ，

l = 1 , 2 , ⋯ , k ， H 0 = { x 0 = 0 } ， k = min { p : 2 t + 1 ≤ p ≤ 3 t + 1 , [ p − t 3 ] ≤ ( p − 2 t − 1 ) } ，

如果对任意的 f ∈ F ，满足：

(1) f ( z ) ∈ H l 当且仅当 ∇ f ( z ) ∈ H l ，其中 l = 1 , 2 , ⋯ , k ；

(2) 若 f ( z ) ∈ ∪ l = 1 k H l ，那么

| 〈 f ( z ) , H 0 〉 | ‖ f ( z ) ‖ ⋅ ‖ H 0 ‖ ≥ δ

其中 0 < δ < 1 是一个常数。

那么 F 在D上正规。

注：实际上，定理6是对定理4和定理5的进一步推广和总结，由定理6可知，当 N = 3 时，对任意的 t ≥ 3 ，只要k满足

[ k − t 3 ] ≤ ( k − 2 t − 1 ) (*)

即可得到 F 在D上正规。

对定理4，当 t = 3 时， 2 t + 2 = 8 ，而由(*)式可得，此时当 8 ≤ k ≤ 10 ， F 在D上正规，于是取 k = 8 。

同理，对定理5，当 t = 4 时， 2 t + 3 = 11 ，而由(*)式得只需 11 ≤ k ≤ 13 ，而； t = 5 时， 2 t + 3 = 13 ，而由(*)式得只需 13 ≤ k ≤ 16 ； t = 6 时， 2 t + 3 = 15 ，由(*)式得需 16 ≤ k ≤ 19 ，故此时 2 t + 3 个超平面无法得到 F 在D上正规，需增加超平面数量。

首先介绍有关 ℙ N ( ℂ ) 的定义和符号， ℙ N ( ℂ ) = ℂ N + 1 \ { 0 } / ~ 为N维复射影空间，对于 x = ( x 0 , x 1 , ⋯ , x N ) ， y = ( y 0 , y 1 , ⋯ , y N ) ∈ ℙ N ( ℂ ) = ℂ N + 1 \ { 0 } ， x ~ y 当且仅当存在 λ ∈ ℂ ，使得 ( x 0 , x 1 , ⋯ , x N ) = λ ( y 0 , y 1 , ⋯ , y N ) ， ( x 0 , x 1 , ⋯ , x N ) 的等价定义为 [ x 0 : x 1 : ⋯ : x N ] ，则 ℙ N ( ℂ ) = { x = [ x 0 : x 1 : ⋯ : x N ] : = ( x 0 , x 1 , ⋯ , x N ) ∈ ℂ N + 1 \ { 0 } } ，

其次，设 D → ℙ N ( ℂ ) 是全纯曲线，U为D的开子集，任意在U内满足 ℙ ( f ˜ ( z ) ) = f ( z ) 的全纯曲线 f ˜ : U → : ℂ N + 1 \ { 0 } 称为f在U上的即约表示，其中 ℙ : ℂ N + 1 \ { 0 } → ℙ N ( ℂ ) 为典型的商映射。

定义1：对于任意开集 U ⊂ D ，若 f 0 , f 1 , ⋯ , f N 是U上没有公共零点的全纯函数，则称 f ˜ = ( f 0 , f 1 , ⋯ , f N ) 为f在U上的一个即约表示。

设 H = { x ∈ ℙ N ( ℂ ) : 〈 x , α 〉 = 0 } 为一个超平面，记 ‖ H ‖ = ‖ α ‖ = max 0 ≤ i ≤ N | a i | 。在本文中，我们只考虑 ‖ H ‖ = 1 的标准化超平面。

对全纯曲线f的任意即约表示 f ˜ ，定义全纯函数

〈 f ( z ) , H 〉 = 〈 f ˜ , α 〉 = ∑ i = 0 N a i f i ( z )

再取

‖ f ˜ ( z ) ‖ = { ∑ i = 1 N | f i ( z ) | 2 } 1 / 2

定义2：设 f = [ f 0 : f 1 : ⋯ : f N ] : D → ℙ N ( ℂ ) 是一条全纯曲线， z ∈ D ， f ˜ 是f在z处的任意一个即约表示，记

f # = | f ∧ f ′ | ‖ f ‖ 2 = ∑ 0 ≤ i ≤ j ≤ N | f i f ′ j − f j f ′ i   | 2 ∑ i = 0 N | f i | 2

为f在z处的Fubini-Study导数，简记为F-S导数，其中 f ˜ ′ = ( f ˜ ′ 0 , f ˜ ′ 1 , ⋯ , f ˜ ′ N ) 。

定义3：设 f = [ f 0 : f 1 : ⋯ : f N ] : D → ℙ N ( ℂ ) 是一条全纯曲线， f ˜ 是f在z处的任意一个即约表示，若

ρ f = lim r → + ∞ log T f ( r ) log r < + ∞

其中， T f ( r ) = ∫ 0 2 π log ‖ f ˜ ( r e i θ ) ‖ d θ 2 π − log ‖ f ˜ ( 0 ) ‖ 为f的特征函数，则称f为有穷级的。

设 H 1 , H 2 , ⋯ , H q 为 ℙ N ( ℂ ) 中的超平面，则：

H l = { x ∈ ℙ N ( ℂ ) : 〈 x , α l 〉 = a l 0 x 0 + a l 1 x 1 + ⋯ + a l N x N = 0 } ，其中 α l = ( a l 0 , a l 1 , ⋯ , a l N ) T 是模为1的法向量， l = 1 , 2 , ⋯ , q 。

根据文献 [6] 有下面关于次一般位置的定义。

定义4：设 N , t , q 均为正整数，且有 t ≥ N ， q ≥ 2 t − N + 1 ，若对任意集合 P ⊆ { 1 , 2 , 3 , ⋯ , q } ， # P = t + 1 ，存在单射 μ : { 1 , 2 , 3 , ⋯ , N } → P ，使得 H μ ( 0 ) , H μ ( 1 ) , ⋯ , H μ ( N ) 处于一般位置，则称 H 1 , H 2 , ⋯ , H q ⊆ ℙ N ( ℂ ) 处于t次一般位置。

根据文献 [7] 对于超曲面的次一般位置，有下面定义：

定义5：设 M ⊆ ℙ N ( ℂ ) 是一个非空闭子集，t为正整数， Q 1 , Q 2 , ⋯ , Q q 是 ℙ N ( ℂ ) 中q个超平面， q ≥ t + 1 ，如果对任意的 { i 0 , i 1 , ⋯ , i t } ⊆ { 1 , 2 , 3 , ⋯ , q } ，有

M ∩ ( ∩ j = i 0 i t Q j ) = ∅

则称他们关于M处于t次一般位置，当 M = ℙ N ( ℂ ) ，即超曲面关于 ℙ N ( ℂ ) 处于t次一般位置。

特别地，当 t = N 时，称为处于一般位置。

最后，根据文献 [1] 中导曲线的定义，有如下定义：

定义6：设f是从区域D到 ℙ N ( ℂ ) 的全纯曲线， f ˜ = ( f 0 , f 1 , ⋯ , f N ) 是f在D上满足 f μ ( z ) ≡ 0 的即约表示， μ = 1 , 2 , 3 , ⋯ , N ，则称

∇ μ f ( z ) = [ W ( f μ , f 0 ) d : ⋯ : W ( f μ , f μ − 1 ) d : f μ 2 d : W ( f μ , f μ + 1 ) d : ⋯ : W ( f μ , f N ) d ]

为f关于第 μ 个分量的全纯导曲线，其中 d ( z ) 为全纯函数，使得 f μ 2 d 与 W ( f μ , f i ) d 没有公共零点，

i = 1 , 2 , 3 , ⋯ , μ − 1 , μ + 1 , ⋯ , N 。

简单起见，将 ∇ 0 f 记为 ∇ f ，显然有 ∇ μ f 的定义与f的既约表示的选取无关

众所周知，Zalcman引理为正规族理论中一个非常重要的引理，其在证明正规定则的时候起着核心的作用。在给出主要定理的证明过程之前，需要如下从 ℂ m 到 ℙ N ( ℂ ) 的全纯映射的Zalcman引理。

引理1 [8] 设 F 是一族从双曲区域 Ω ⊆ ℂ m 映到 ℙ N ( ℂ ) 的全纯映射。若 F 在 Ω 上不正规，则存在子列 { f n } ⊂ F ，点列 { z n } ⊂ Ω 满足 z n → z 0 ∈ Ω ，正数列 { ρ n } 满足 ρ n → 0 + ，使得

g n ( ξ ) : = f n ( z n + ρ n ξ )

在 ℂ m 上内闭一致收敛于从 ℂ m 映到 ℙ N ( ℂ ) 的非常值全纯映射 g ( ξ ) 。

在主要定理的证明过程中，还需要如下的引理。

引理2 (Hurwitz引理) [2] 设 { f n ( z ) } 是定义在区域 D ⊆ ℂ 内的一列全纯函数， a ∈ ℂ 是任意一个复数，且设 { f n ( z ) } 在D的任意一个紧子集上一致收敛于非常值的全纯函数 f ( z ) 。若存在点 z 0 ∈ D ，使得 f ( z 0 ) = a ，则对于每一个充分大的n，方程 f n ( z ) − a 在D内有根。此外，存在 z 0 的某邻域U，使得 f ( z ) − a 在U内根的总数与在 f n ( z ) − a 内根的总数相同(计重数)。

引理3 (Picard型定理) [9] 设 f : ℂ → X 是一条全纯曲线，其中X是 ℙ N ( ℂ ) 中的一个闭子集。再设 Q 1 , Q 2 , ⋯ , Q 2 t + 1 是 ℙ N ( ℂ ) 中的超曲面，关于X处于t次一般位置。若f不取 Q i ，即 〈 f , Q i 〉 ≠ 0 ， i = 1 , 2 , ⋯ , 2 t + 1 ，则f必为常值曲线.。

为了方便利用上述引理辅助证明，得到了如下推论。

引理4 [6] 设 f : ℂ → ℙ N ( ℂ ) 是一条全纯曲线， H 1 , H 2 , ⋯ , H q 均是 ℙ N ( ℂ ) 中处于t次一般位置的超平面，其中 q ≥ 2 t + 1 ， t ≥ N ，若对每个 i = 1 , 2 , 3 , ⋯ , q ，f不取 H i ，或者 f ( ℂ ) ⊆ H i ，则f必为常值曲线。

引理5 [3] 设 g = [ g 0 , g 1 , ⋯ , g N ] : ℂ → ℙ N ( ℂ ) 是有穷级的全纯曲线， g 0 ( ζ ) ≡ 0 ， N ≥ 2 为整数。 H l = { x ∈ ℙ N ( ℂ ) : 〈 x , α l 〉 = 0 } 是 ℙ N ( ℂ ) 中处于一般位置的超平面，且其第一系数 a l 0 均不为零， l = 0 , 1 , ⋯ , N + 1 。 g ˜ = ( g 0 , g 1 , ⋯ , g N ) ( ζ ) 是g的任意即约表示，令

G l ( ζ ) = a l 0 + ∑ i = 1 N a l i g i ( ζ ) g 0 ( ζ ) ,   l = 0 , 1 , ⋯ , N + 1

若 G l ( ζ ) ≠ 0 ，且 G ′ l ( ζ ) ≠ 0 ， ζ ∈ ℂ 则g是线性退化的。

引理6 [10] 设 f ( z ) 为整函数，若 f ( z ) 的球面导数 f # ( z ) 有界，则 f ( z ) 的级至多为 1。

首先假设 F 在D上不正规，则由引理1可得，存在点列 { z n } ⊂ D 满足 z n → z 0 ∈ D ，全纯曲线列 { f n } ⊂ F ，正数列 { ρ n } 满足 ρ n → 0 + ，使得

g n ( ζ ) ∶ = f n ( z n + ρ n ζ ) ⇒ g ( ζ )

其中，g是从 ℂ 到 ℙ 3 ( ℂ ) 的有穷级的非常值全纯曲线。

设 g ˜ ( ζ ) = ( g 0 , g 1 , g 2 , g 3 ) ( ζ ) 是g在 ℂ 上的某个既约表示。

由于 H l 是处于t次一般位置的超平面， 1 ≤ l ≤ k ，由次一般位置的定义可得，至少存在 k − t 个超平面的第一系数不为零。不失一般性，假定 H 1 , H 2 , ⋯ , H k − t 的第一系数均不为零。

又由引理4及g非常值知，存在某个 i ∈ { 1 , 2 , 3 , ⋯ , k } ，不失一般性，假定 i = k ，以及某个 ζ 0 ∈ C ，使得 〈 g , H k 〉 ( ζ 0 ) = 0 ，但 〈 g , H k 〉 ( ζ ) ≡ 0 。

类似于定理4中的证明，有如下结论：

断言a. g 0 ( ζ 0 ) ≠ 0 ，从而 g 0 ( ζ ) ≡ 0

断言b. H k 的第一系数必为零，即 α k = ( 0 , a k , 1 , a k , 2 , a k , 3 )

以下分为两种情形进行讨论。

情况1 g ˜ 线性非退化。

由断言b，有 g ˜ 不取 H l ， l = 1 , 2 , 3 , ⋯ , k − t 即

G l = a l , 0 + a l , 1 g 1 g 0 + a l , 2 g 2 g 0 + a l , 3 g 3 g 0 ≠ 0 ,   l = 1 , 2 , 3 , ⋯ , k − t

类似于定理4的情况(A)的证明过程，可得 G ′ l ( ζ ) ≠ 0 ， l = 1 , 2 , 3 , ⋯ , k − t ， ζ ∈ ℂ 。又由于 H l 处于t次一般位置，且 k − t ≥ t + 1 ，在上述 k − t 个超平面中任取 t + 1 个，其中必定存在4个超平面处于一般位置。再由引理5，取 N = 3 ，可知 g ˜ 线性退化，矛盾。

情况2 g ˜ 线性退化。

此时，存在不全为零的数 k 0 , k 1 , k 2 , k 3 ，使得

k 0 g 0 ( ζ ) + k 1 g 1 ( ζ ) + k 2 g 2 ( ζ ) + k 3 g 3 ( ζ ) ≡ 0

情况2.1， g 0 , g 1 , g 2 线性无关

此时， k 3 ≠ 0 ，所以存在常数 b 0 , b 1 , b 2 , b 3 使得

g 3 ( ζ ) = b 0 g 0 ( ζ ) + b 1 g 1 ( ζ ) + b 2 g 2 ( ζ ) + b 3 g 3 ( ζ )

又由引理4的证明可得 g 0 ( ζ ) ≡ 0 ，则

g 3 ( ζ ) g 0 ( ζ ) = b 0 + b 1 g 1 ( ζ ) g 0 ( ζ ) + b 2 g 2 ( ζ ) g 0 ( ζ ) + d

且 G l 是全纯的 l = 1 , 2 , 3 , ⋯ , k − t ，

由Zalcman引理的证明可得 g # ( z ) < 1 ，则存在常数 M > 0 ，使得 G l # ≤ M 。则由引理6可知 ρ G l ≤ 1 ， 1 ≤ l ≤ k − t ，又由断言b， G l ≡ 0 ，或 G l ≠ 0 ，因此当 G l ≠ 0 ， l = 1 , 2 , 3 , ⋯ , k − t 时， G l = B l e A l ζ ；当 G l ≡ 0 时，仍然记 G l = B l e A l ζ ，此时 B l = 0 。

任取 j 1 , j 2 , ⋯ , j t + 1 ∈ { 1 , 2 , 3 , ⋯ , k − t } ，不失一般性，令 j i = i ， i = 1 , 2 , ⋯ , t + 1 ，则存在某个单射 σ : { 1 , 2 , 3 , 4 } → { 1 , 2 , 3 , ⋯ , t + 1 } ，使得 H σ ( 1 ) , H σ ( 2 ) , H σ ( 3 ) , H σ ( 4 ) 处于一般位置，从而 det A ≠ 0 ，其中

A = ( a σ ( 1 ) , 0 a σ ( 2 ) , 0 a σ ( 3 ) , 0 a σ ( 4 ) , 0 a σ ( 1 ) , 1 a σ ( 2 ) , 1 a σ ( 3 ) , 1 a σ ( 4 ) , 1 a σ ( 1 ) , 2 a σ ( 2 ) , 2 a σ ( 3 ) , 2 a σ ( 4 ) , 2 a σ ( 1 ) , 3 a σ ( 2 ) , 3 a σ ( 3 ) , 3 a σ ( 4 ) , 3 )

设 p 1 B σ ( 1 ) e A σ ( 1 ) ζ + p 2 B σ ( 2 ) e A σ ( 2 ) ζ + p 3 B σ ( 3 ) e A σ ( 3 ) ζ + p 4 B σ ( 4 ) e A σ ( 4 ) ζ = 0 ， p 1 , p 2 , p 3 , p 4 为常数。因此

( 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 , g 3 g 0 ) A ( p 1 p 2 p 3 p 4 ) = 0

由于 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 , g 3 g 0 线性相关，所以存在非零向量 ( b 1 , b 2 , b 3 , b 4 ) T ，使得 A ( p 1 p 2 p 3 p 4 ) = ( b 1 b 2 b 3 b 4 ) ，因此 p 1 , p 2 , p 3 , p 4

不全为0，则 B σ ( 1 ) e A σ ( 1 ) ζ , B σ ( 2 ) e A σ ( 2 ) ζ , B σ ( 3 ) e A σ ( 3 ) ζ , B σ ( 4 ) e A σ ( 4 ) ζ 线性相关。

断言c：存在某个单射， ϕ : { 1 , 2 , 3 } → { σ ( 1 ) , σ ( 2 ) , σ ( 3 ) , σ ( 4 ) } ，使得 B ϕ ( 1 ) e A ϕ ( 1 ) ζ , B ϕ ( 2 ) e A ϕ ( 2 ) ζ , B ϕ ( 3 ) e A ϕ ( 3 ) ζ 线性无关。

断言c的证明：

不失一般性，假设存在常数 l 1 , l 2 , l 3 ，有 B σ ( 4 ) e A σ ( 4 ) ζ = l 1 B σ ( 1 ) e A σ ( 1 ) ζ + l 2 B σ ( 2 ) e A σ ( 2 ) ζ + l 3 B σ ( 3 ) e A σ ( 3 ) ζ ，由于

( B σ ( 1 ) e A σ ( 1 ) ζ , B σ ( 2 ) e A σ ( 2 ) ζ , B σ ( 3 ) e A σ ( 3 ) ζ , B σ ( 4 ) e A σ ( 4 ) ζ ) = ( 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 , g 3 g 0 ) A ，所以

( 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 , g 3 g 0 ) = ( B σ ( 1 ) e A σ ( 1 ) ζ , B σ ( 2 ) e A σ ( 2 ) ζ , B σ ( 3 ) e A σ ( 3 ) ζ , B σ ( 4 ) e A σ ( 4 ) ζ ) A − 1

从而 g j g 0 = ∑ i = 1 3 c i j B σ ( i ) e A σ ( i ) ζ ,   j = 1 , 2 , 3 ，设 C = ( c 10 c 11 c 12 c 20 c 21 c 22 c 30 c 31 c 32 ) ，则有

( 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 ) = ( B σ ( 1 ) e A σ ( 1 ) ζ , B σ ( 2 ) e A σ ( 2 ) ζ , B σ ( 3 ) e A σ ( 3 ) ζ ) C ，若 r ( C ) = 2 ，则方程 C ( x 0 x 1 x 2 ) = 0 有非零解，因此，存在不全为 的常数 q 1 , q 2 , q 3 使得 C ( q 1 q 2 q 3 ) = 0 ，则

( B σ ( 1 ) e A σ ( 1 ) ζ , B σ ( 2 ) e A σ ( 2 ) ζ , B σ ( 3 ) e A σ ( 3 ) ζ ) C ( q 1 q 2 q 3 ) = 0 即 ( 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 ) ( q 1 q 2 q 3 ) = 0 ，因此 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 线性相关，矛盾，从而 r ( C ) = 3 。

若 B σ ( 1 ) e A σ ( 1 ) ζ , B σ ( 2 ) e A σ ( 2 ) ζ , B σ ( 3 ) e A σ ( 3 ) ζ 线性相关，则存在不全为0的常数 c 0 , c 1 , c 2 使得

( B σ ( 1 ) e A σ ( 1 ) ζ , B σ ( 2 ) e A σ ( 2 ) ζ , B σ ( 3 ) e A σ ( 3 ) ζ ) ( c 0 c 1 c 2 ) = 0 ，因此， ( 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 ) C − 1 ( c 0 c 1 c 2 ) = 0 ，这意味着 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 线性相关，

矛盾，断言c得证。

所以 B σ ( 1 ) e A σ ( 1 ) ζ , B σ ( 2 ) e A σ ( 2 ) ζ , B σ ( 3 ) e A σ ( 3 ) ζ 线性无关，则 B σ ( 1 ) , B σ ( 2 ) , B σ ( 3 ) 均不为0，且 A σ ( 1 ) , A σ ( 2 ) , A σ ( 3 ) 互不相

等。又因为 r { ( 1 , g 1 g 0 , g 2 g 0 , g 3 g 0 ) } = 3 ，则 r { ( B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , ⋯ , B k − t e A k − t ζ ) } ≤ 3 。

综上所述，任取 P ⊆ { B 1 e A 1 ζ , B 2 e A 2 ζ , ⋯ , B k − t e A k − t ζ } ， # P = t + 1 ，存在P中的3个元素线性无关。因此， A 1 , A 2 , ⋯ , A k − t 中任取 t + 1 个，有且仅有3个元素不同，当某个 B l = 0 ，对应的 B l e A l ζ 必与其他的线性相关，故不考虑。

由于 [ k − t 3 ] ≤ ( k − 2 t − 1 ) ，在 k − t 个 B l e A l ζ 中，只有3个不同的 A l ，则最少的一种的个数小于等于 [ k − t 3 ] ，又取 t + 1 个时，有 k − 2 t − 1 个取不到，则可以只取另外两种，一共取 t + 1 个，此时取出的 t + 1 个

只有2个元素不同，故不能满足要求，矛盾。

情况2.2 g 0 , g 1 , g 2 线性相关

此时存在不全为零的数 p 0 , p 1 , p 2 ，使得

p 0 g 0 + p 1 g 1 + p 2 g 2 = 0

情况2.2.1 若 p 2 ≠ 0 ，则 g 2 , g 3 可由 g 0 , g 1 线性表出，即存在常数 k 1 , k 2 , l 1 , l 2 ，使得 g 2 = k 1 g 0 + l 1 g 1 ， g 3 = k 2 g 0 + l 2 g 1 ，则

G l = a l , 0 + a l , 1 g 1 g 0 + a l , 2 g 2 g 0 + a l , 3 g 3 g 0 = ( a l , 1 + a l , 2 k 1 + a l , 3 k 2 ) g 1 g 0 + a l , 0 + a l , 2 l 1 + a l , 3 l 2 ， l = 1 , 2 , ⋯ , k

由于 H l 是处于t次一般位置的超平面，则不失一般性，设 α l 0 , α l 1 , α l 2 , α l 3 线性无关，

{ l 0 , l 1 l 2 , l 3 } ⊆ { 1 , 2 , ⋯ , k − t } ，则必存在某个 l i ∈ { l 0 , l 1 l 2 , l 3 } 使得 a l , 1 + a l , 2 k 1 + a l , 3 k 2 ≠ 0 。对于上述的 l i ，若 G ′ l 1 ≡ 0 ，则有 ( g 1 g 0 ) ′ ≡ 0 ，这意味着 g 1 g 0 = c 1 ，矛盾。类似于定理4的证明可知， G ′ l 1 ≠ 0 ， ( g 1 g 0 ) ′ ≠ 0 。

若 H j 的第一系数均不为零，即 a j , 0 ≠ 0 ，则由断言b有g不取 H j 或 g ( ℂ ) ⊆ H j ， j = k − t + 1 , ⋯ , k − 1 。由引理4知， g ˜ 为常值映射，矛盾。

因此，至少存在两个 j m , j n ∈ { k − t + 1 , ⋯ , k − 1 } ， j m ≠ j n 使得 a j m , 0 = a j n , 0 = 0 ，设 j m = k − 2 ， j n = k − 1 。

又假设 H i 的首项系数非零，即 a i , 0 ≠ 0 ，则g不取 H i 或 g ( ℂ ) ⊆ H i ， i = k − t + 1 , ⋯ , 2 t 。若对任意的 ζ ∈ ℂ ，有 〈 g ˜ , α q 〉 ≠ 0 或 〈 g ˜ , α q 〉 ≡ 0 ， q = 2 t + 1 , ⋯ , k ，则 g ˜ 为常值映射，矛盾。因此存在某个 q i ∈ { 2 t + 1 , ⋯ , k } ， ζ 0 ∈ ℂ ，使得 〈 g ˜ , α q i 〉 ( ζ 0 ) = 0 且 〈 g ˜ , α q i 〉 ( ζ ) ≡ 0 。

断言d： 〈 g ˜ , α q i 〉 的零点 ζ 0 均是重级的，且 ζ 0 也是 G q i ( ζ ) 的重级零点。

设 α q i = ( 0 , a q i , 1 , a q i , 2 , a q i , 3 ) ，则 〈 g ˜ , α q i 〉 ( ζ 0 ) = a q i , 1 g 1 ( ζ 0 ) + a q i , 2 g 2 ( ζ 0 ) + a q i , 3 g 3 ( ζ 0 ) = 0 。由式2可得， ( a q i , 1 + a q i , 2 k 1 + a q i , 3 k 2 ) g 1 ( ζ 0 ) + ( a q i , 2 l 1 + a q i , 3 l 2 ) g 0 ( ζ 0 ) = 0 ，由于 g 0 ( ζ 0 ) ≠ 0 ，故 G q i ( ζ 0 ) = 0 。

由引理2，存在序列 { ζ n } ， ζ n → ζ 0 ，使得 〈 g ˜ n , α q i 〉 ( ζ n ) = 0 ，则有 〈 f ˜ n , α q i 〉 ( z n + ρ n ζ n ) = 0 ，由定理6的条件a有， 〈 ∇ f ˜ n , α q i 〉 ( z n + ρ n ζ n ) = 0 。所以

a q i , 1 ( f n 1 f n 0 ) ′ + a q i , 2 ( f n 2 f n 0 ) ′ + a q i , 3 ( f n 3 f n 0 ) ′ | z n + ρ n ζ n = 0

a q i , 1 ( g n 1 g n 0 ) ′ + a q i , 2 ( g n 2 g n 0 ) ′ + a q i , 3 ( g n 3 g n 0 ) ′ | ζ n = 0

令 n → + ∞ ，则

a q i , 1 ( g 1 g 0 ) ′ + a q i , 2 ( g 2 g 0 ) ′ + a q i , 3 ( g 3 g 0 ) ′ | ζ n = 0

得 G ′ q i ( ζ 0 ) = 0 。即 ζ 0 也是 G q i ( ζ ) 的重级零点，且 〈 g ˜ , α q i 〉 ( ζ ) 的零点是重级的， G q i ( ζ ) 的零点也是重级的。

这意味着 ( g 1 g 0 ) ′ ( ζ 0 ) = 0 ，因此至少存在一个 m i ∈ { k − t + 1 , ⋯ , 2 t } 有 a m i , 0 = 0 ，不失一般性，取 m i = 2 t 。

类似地，可证得 a k − t , 0 , ⋯ , a k , 0 均为零。因此， 〈 g ˜ , α p 〉 的零点 ζ 0 均是重级的，且 ζ 0 也是 G p ( ζ ) 的重级零点， p = k − t + 1 , ⋯ , k ，若对于任意的 ζ ∈ ℂ ， 〈 g ˜ , α p 〉 ( ζ ) ≡ 0 ， p = k − t + 1 , ⋯ , k ，则由引理4， g ˜ 为常值函数，矛盾。因此，存在某个 ζ 0 ∈ ℂ ， p j ∈ { k − t + 1 , ⋯ , k } 使得 〈 g ˜ , α p j 〉 ( ζ 0 ) = 0 但 〈 g ˜ , α p j 〉 ( ζ ) ≡ 0 ，这意味着

( a p j , 1 + a p j , 2 k 1 + a p j , 3 k 2 ) ( g 1 g 0 ) ′ | ζ n = 0

矛盾。

情况2.2.2 p 2 = 0 ，则 p 0 , p 1 不全为零；

若 p 1 ≠ 0 ，则 g 1 , g 3 可由 g 0 , g 2 线性表出，用相同的证明方法，可得矛盾。

若 p 0 ≠ 0 ，则 p 1 = 0 ，由 g 1 = 0 知 g 1 g 0 = 0 ，矛盾。

综上所述， F 在D上正规，证毕。

注：当k的值继续变小，不满足 [ k − t 3 ] ≤ ( k − 2 t − 1 ) 时，即 [ k − t 3 ] > ( k − 2 t − 1 ) 时，最少的 A l 的个数大于等于 [ k − t 3 ] 大于 k − 2 t − 1 ，则任取 t + 1 个一定有3个不同，故无法推出矛盾，则无法证明 F 在D上正规。

本文从前人在 ℙ 3 ( ℂ ) 上 t = 3 , 4 , 5 , 6 的证明中得到灵感，进行进一步推导，得到了在 ℙ 3 ( ℂ ) 上 t ≥ 3 时的一般性结论，但是由证明方法无法推广到 ℙ 4 ( ℂ ) 上，因为证明本质是通过一系列方法降维，把问题从 ℙ 3 ( ℂ ) 降维到 ℙ 2 ( ℂ ) ，然后再利用前人方法得到证明，但是在 ℙ 4 ( ℂ ) 降到 ℙ 3 ( ℂ ) 时，此方法无法通用，因此，期待有人能找到新的降维方法。

王睿为,刘晓俊. 分担超平面的全纯曲线族的正规定则Normal Criteria Concerning Shared Hyperplanes for Families of Holomorphic Curves[J]. 理论数学, 2024, 14(05): 172-181. https://doi.org/10.12677/pm.2024.145174