(1) Gaussian Copula函数

高斯Copula是边缘分布为正态分布的连接函数，对应的分布函数和密度函数表达式为：

C ( u 1 , ⋯ , u n , ρ ) = Φ ρ ( Φ − 1 ( u 1 ) , ⋯ , Φ − 1 ( u n ) ) (3)

c ( u 1 , ⋯ , u n ; ρ ) = | ρ | − 1 / 2 exp ( − 1 2 ζ ′ ( ρ − 1 − I ) ζ ) (4)

其中 ρ 为n阶对称正定矩阵， Φ ρ 表示相关系数矩阵为 ρ 的n元标准正态分布的分布函数；I表示单位矩阵， ζ ′ = ( Φ − 1 ( u 1 ) , ⋯ , Φ − 1 ( u n ) ) 。

设相关系数为 ρ ，则二元函数如下：

C G a ( u , v , ρ ) = ∫ − ∞ Φ − 1 ( u ) ∫ − ∞ Φ − 1 ( v ) 1 2 π 1 − ρ 2 exp ( − s 2 − 2 ρ s t + t 2 2 ( 1 − ρ 2 ) ) d s d t (5)

正态Copula函数取样方便，参数数量较少，函数分布性质易掌握模拟。

(2) t-Student Copula函数

t-Copula指多元t-Student分布的连接函数，若 u i = t k ( X i k / Y ) 服从t分布，则自由度为k的多维t-Copula函数分布函数和密度函数为：

C ( u 1 , ⋯ , u n , ρ , k ) = t ρ , k ( t k − 1 ( u 1 ) , ⋯ , t k − 1 ( u n ) ) (6)

c ( u 1 , ⋯ , u n ; ρ , k ) = | ρ | − 1 / 2 Γ ( k + n 2 ) [ Γ ( k 2 ) ] n − 1 [ Γ ( k + 1 2 ) ] n ( 1 + 1 k ζ ′ ρ − 1 ζ ) − k + n 2 ∏ i = 1 n ( 1 + ζ i 2 k ) − k + 1 2 (7)

其中 t ρ , k 表示相关系数矩阵为 ρ ，自由度为k的n元标准t分布的分布函数， ζ ′ = ( t k − 1 ( u 1 ) , ⋯ , t k − 1 ( u n ) ) 。

对于二元情况，存在如下函数形式，其中 ρ 为变量间线性相关系数。

C t ( u , v , ρ , k ) = ∫ − ∞ t k − 1 ( u ) ∫ − ∞ t k − 1 ( v ) 1 2 π 1 − ρ 2 ( 1 + s 2 − 2 ρ s t + t 2 k ( 1 − ρ 2 ) ) − ( k + 2 ) / 2 d s d t (8)

t-Copula具有较厚的对称的尾部，这使得我们能够通过该函数模型捕捉到尾部的变化，且尾部相关性随着自由度 ρ 的增大而增强。

Archimedean Copula函数具有分布类型众多、方便计算、可结合性的优良性质，蕴含了良好的统计特性，也因此获得了广泛的应用，常被用在研究金融资产的厚尾性，可结合性等。阿基米德Copula函数的定义如下：

C ( u 1 , u 2 , ⋯ , u n ) = { φ − 1 ( φ ( u 1 ) , ⋯ , φ ( u n ) ) , ∑ i = 1 n φ ( u i ) ≤ φ ( 0 ) 0 , 其 他 (9)

其中，函数 φ ( u ) 称为阿基米德Copula函数的生成元，满足 φ ( 1 ) = 0 ，且对于所有属于[0, 1]的u，有 φ ′ ( t ) < 0 , φ ″ ( t ) > 0 ，即生成元 φ ( u ) 是一个凸的减函数。

下面引入本文应用到的二元阿基米德Copula函数。

(1) Gumbel Copula函数

生成元函数 φ ( t ) = ( − ln t ) α ，其分布函数为：

C G ( u , v , α ) = exp { − ( ( − ln u ) α + ( − ln v ) α ) 1 / α } (10)

其中 α 表示该Copula函数中的参数，当 α 趋于无穷大时， u , v 完全相依，即 C G ( u , v , α ) = min ( u , v ) 。

Gumbel Copula函数上尾高于下尾，不具有对称性。此函数模型说明上尾部存在较强的相关性，下尾部渐进独立。

(2) Clayton Copula函数

生成元为 φ ( t ) = ( t − α − 1 ) / α ，分布函数、密度函数如下：

C C ( u , v , α ) = max ( ( u − α + v − α − 1 ) − 1 / α , 0 ) (11)

c ( u , v , α ) = ( 1 + α ) ( u v ) − α − 1 ( u − α + v − α − 1 ) − 2 − 1 / α (12)

其中 α 表示函数中的参数， α ∈ ( − 1 , ∞ ) , α ≠ 0 。当 θ 趋于零时，随机变量 u , v 趋向于独立，即 C C ( u , v , α ) = u v ，当 α 趋向于正无穷大时， u , v 趋向于完全相关， C C ( u , v , α ) = max ( u , v ) 。

Clayton Copula函数下尾高，上尾低。能够捕捉到下尾相关的变化。所以在实际中，可以较为完美地反映具有明显下尾相关关系的资产变量。

(3) Frank Copula函数

生成元 φ ( t ) = − ln e − α t − 1 e − α − 1 ，其分布函数为：

C F ( u , v , α ) = − 1 α ln ( 1 + ( e − α u − 1 ) ( e − α v − 1 ) e − α − 1 ) (13)

其中， α 作为参数，取值范围为 α ∈ ( − ∞ , ∞ ) , α ≠ 0 。当 α > 0 ，随机变量 u , v 正相关，反之，存在负相关；若参数无限趋向于零，即 C F ( u , v , α ) = u v 。

Frank Copula函数具备对称相关模式，且对上下尾部均不敏感。难以捕捉非对称二元变量的相依性和尾部相关性。该模型适用于具有对称尾部且尾部渐进独立的二元随机变量。

设 x 1 , x 2 , ⋯ , x n 是总体X的样本，其总体密度函数 f ( x ) )的核估计为 [3] [4] ：

f ^ h ( x ) = 1 n h ∑ i = 1 n K ( x − x i h ) (14)

其中 K ( ⋅ ) 称为核函数，h称为窗宽，核密度估计的核心就是通过确立核函数和最优窗宽来对变量的样本值的密度函数进行估计。事实上，根据文献调研和学者的大量研究已经发现核函数的选择在样本值足够大时，影响微乎其微；但是窗宽h会影响 f ^ h ( x ) 的光滑程度。在确定最优窗宽时，依据积分均方误差MISE：

M I S E ( f ^ h ) = E [ ∫ ( f ^ h ( x ) − f ( x ) ) 2 d x ] (15)

核函数选定时，选择使MISE值最小时的h作为最优窗宽。一般实际应用中，时常将高斯函数作为

核函数，即 K ( x ) = ( 1 / 2 π ) e − x 2 2 ，有最佳窗宽为 [3] ：

h ^ = ( 4 / 3 ) 1 / 5 σ n − 1 / 5 (16)

假设 f ( x ) , g ( y ) 分别是汽车和钢铁收益率的密度函数， F ( x ) , G ( y ) 为其边缘分布函数。其中 σ 由样本的标准差S来代替，n为数据长度。由此得到 f ( x ) , g ( y ) 的非参数核密度估计为：

f ^ ( x ) = 1 n h ^ x ∑ i = 1 n K ( x − x i h ^ x ) , g ^ ( y ) = 1 n h ^ y ∑ i = 1 n K ( y − y i h ^ y ) (17)

收益率序列 ( x , y ) 在某一时刻的分布函数值为：

u ^ = F ^ h ( x t ) = ∫ − ∞ x t f ^ ( x ) d x , v ^ = G ^ h ( y t ) = ∫ − ∞ y t g ^ ( y ) d y (18)

构建Copula模型时主要分为两步，包括拟合边际分布和Copula函数参数估计。基于2.1中所介绍的Copula函数形式 C ( u , v , α ) ， u = F ( x ) , v = G ( y ) 。设 ( X , Y ) 的联合分布函数为：

H ( x , y ; α ) = C ( F ( x ; θ 1 ) , G ( y ; θ 2 ) ; α ) (19)

其中参数 α 为Copula函数中的待估计参数， θ 1 , θ 2 为边缘分布的参数。联合密度函数为：

h ( x , y ; α ) = c ( F ( x ; θ 1 ) , G ( y ; θ 2 ) ; α ) f ( x ; θ 1 ) g ( y ; θ 2 ) (20)

( X i , Y i ) , i = 1 , 2 , ⋯ , n 的似然函数为：

L ( α ) = ∏ i = 1 n h ( x i , y i ; α ) (21)

求解得到各参数的估计值：

α ^ = arg max ln L ( α ) (22)

实际情况中边缘分布有时难以确定，且估计分布函数中的参数计算量较大。而基于非参数核密度法确定边缘分布函数，随后再采用极大似然法估计Copula函数中的参数这种方法因计算过程较为简便，且能够充分利用样本值而受到青睐。

此时采用核函数 F h ( x ) ， G h ( y ) 来代替边缘分布函数 F ( x , θ 1 ) 、 G ( y , θ 2 ) ，只需估计Copula函数中参数即可 [6] ，代入伪似然函数如下即可得到各Copula函数的参数：

α ^ = arg max ∑ i = 1 n ln c ( F h ( x i ) , G h ( y i ) ; α ) (23)

以二元经验Copula函数为参照，计算估计得到的Copula函数模型值与经验Copula函数值的欧式平方距离。欧式平方距离 d 2 越小，所选的Copula模型拟合数据效果越好，所选模型能够更好地反应随机变量间的相关结构。欧式距离公式如下：

d w 2 = ∑ i = 1 n | C ^ n ( u i , v i ) − C ^ W ( u i , v i ) | (25)

其中W代表所估计的Copula函数类型， u i , v i 代表各边缘分布函数的值。

以其中m为参数数量，n为样本数量。AIC值通常小于零，当AIC和OLS值均最小时，拟合优度最佳。

MSE = 1 n ∑ i = 1 n ( C ^ n ( u i , v i ) − C ^ W ( u i , v i ) ) 2 (26)

AIC = n log ( MSE ) + 2 m (27)

OLS = 1 n ∑ i = 1 n ( C ^ n ( u i , v i ) − C ^ W ( u i , v i ) ) 2 (28)

基于核密度法得到的分布函数值，采用极大似然法估计五种Copula函数中的未知参数；并依据Copula函数与相关性测度直接的关系得到各测度值，结果如下表2所示。

表2. Copula函数参数估计值及相关性测度值

从各Copula函数得到的相关性测度可以初步看出汽车与房地产之间存在中等强度的正相关性。从尾部相关系数也可以看出高斯Copula、t-Copula以及Frank Copula函数具备对称相关模式，且高斯Copula和Frank Copula对上下尾部均不敏感。难以捕捉非对称二元变量的相依性和尾部相关性。Gumbel Copula函数说明上尾部存在较强的相关性即当房地产股票较高时，汽车的股票价格有37%的概率也较高，但下尾部渐进独立。Clayton Copula函数模型则说明两组股票之间存在较强的下尾相关性，即当房地产股票较低时，汽车的股票价格有43%的概率也较低，但上尾渐进独立。

首先通过绘制二维分布直方图初步筛选可能拟合的Copula函数，通过图4可以看出房地产与汽车股票价格之间存在尾部对称性，则可以初步筛选出高斯Copula、t-Copula以及Frank Copula函数三个模型；进一步通过二维分布直方图可观察到尾部具有一定厚度，存在尾部相关性，则t-Copula可能为最佳模型。

但二维分布直方图只能进行定性分析，并不能定量地抉择出最优的Copula函数模型。所以我们以经验Copula为参照，采取欧式距离最小法和AIC、OLS最小准则定量计算出对房地产与钢铁股票价格之间联合分布拟合效果最好的Copula模型(表3)。

欧式平方距离和AIC、OLS反映了二元Copula模型对样本数据拟合情况的优劣，欧式平方距离和AIC、OLS值越小，拟合情况越好，该Copula模型越能描述房地产与汽车股票收益率之间的联合分布，即相关结构。由表3可以看出二元t-Copula模型的欧式平方距离和AIC、OLS值均最小，能够更好地拟合汽车–钢铁收益率的样本数据。

此时我们通过定性定量分析，对拟合效果优劣进行检验，均发现对于所选取的收益率序列，t-Copula函数是表征汽车–钢铁股票收益率相关结构最好的函数模型。

图4. 汽车和钢铁产日收益率直方图

表3. Copula函数参数估计值及检验值

将t-Copula模型的参数代入式(8)可以得到汽车–钢铁收益率之间的相关结构为：

C ^ t ( u , v ) = ∫ − ∞ t 5 − 1 ( u ^ ) ∫ − ∞ t 5 − 1 ( v ^ ) 1 2 π 1 − 0.4879 2 ( 1 + s 2 − 2 * 0.4879 s t + t 2 5 * ( 1 − 0.4879 2 ) ) − ( 5 + 2 ) / 2 d s d t

对应的二元t-Copula函数模型的密度函数图和分布函数图如下。

图5表征刻画了两支收益率之间的相关结构、整体相关性。接下来进一步分析由t-Copula函数得到以下相关性测度的含义。

根据相关性测度(表4)和上图得到的汽车–钢铁的联合概率密度以及联合分布函数图像可以看出，汽车与钢铁之间存在中等程度的正相关性。同时汽车与钢铁收益率之间存在对称的尾部相关性，即当房地产股票发生极端上涨或下跌时，汽车股票也有将近20%的可能性发生上涨或下跌。